Triunghi obtuz: lungimea laturilor, suma unghiurilor. Triunghi obtuz circumscris

Chiar și copiii preșcolari știu cum arată un triunghi. Dar copiii încep deja să înțeleagă cum sunt ei la școală. Un tip este un triunghi obtuz. Cel mai simplu mod de a înțelege ce este este să vezi o imagine a acestuia. Și, teoretic, acesta este ceea ce ei numesc „cel mai simplu poligon” cu trei laturi și vârfuri, dintre care unul este

Înțelegerea conceptelor

În geometrie, există aceste tipuri de figuri cu trei laturi: triunghiuri acute, dreptate și obtuze. Mai mult, proprietățile acestor poligoane simple sunt aceleași pentru toți. Astfel, pentru toate speciile enumerate se va observa această inegalitate. Suma lungimilor oricăror două laturi va fi în mod necesar mai mare decât lungimea celei de-a treia laturi.

Dar pentru a fi sigur că vorbim despre o figură completă și nu despre un set de vârfuri individuale, este necesar să se verifice dacă este îndeplinită condiția principală: suma unghiurilor unui triunghi obtuz este egală cu 180 de grade. . Același lucru este valabil și pentru alte tipuri de figuri cu trei laturi. Adevărat, într-un triunghi obtuz, unul dintre unghiuri va fi chiar mai mare de 90°, iar celelalte două vor fi cu siguranță acute. În acest caz, este cel mai mare unghi care va fi opus celei mai lungi laturi. Adevărat, acestea nu sunt toate proprietățile unui triunghi obtuz. Dar chiar și cunoscând doar aceste caracteristici, școlarii pot rezolva multe probleme de geometrie.

Pentru fiecare poligon cu trei vârfuri, este de asemenea adevărat că continuând oricare dintre laturi, obținem un unghi a cărui dimensiune va fi egală cu suma a două vârfuri interne neadiacente. Perimetrul unui triunghi obtuz se calculează în același mod ca și pentru alte forme. Este egal cu suma lungimilor tuturor laturilor sale. Pentru a determina acest lucru, matematicienii au dezvoltat diverse formule, în funcție de ce date sunt prezente inițial.

Stilul corect

Una dintre cele mai importante condiții pentru rezolvarea problemelor de geometrie este desenul corect. Profesorii de matematică spun adesea că vă va ajuta nu numai să vizualizați ceea ce este dat și ce vi se cere, ci și să vă apropiați cu 80% de răspunsul corect. De aceea este important să știi cum să construiești un triunghi obtuz. Dacă aveți nevoie doar de o figură ipotetică, atunci puteți desena orice poligon cu trei laturi, astfel încât unul dintre unghiuri să fie mai mare de 90 de grade.

Dacă sunt date anumite valori ale lungimilor laturilor sau gradelor unghiurilor, atunci este necesar să desenați un triunghi obtuz în conformitate cu acestea. În acest caz, este necesar să încercați să descrieți unghiurile cât mai precis posibil, calculându-le cu ajutorul unui raportor și să afișați laturile proporțional cu condițiile date în sarcină.

Liniile principale

Adesea, nu este suficient ca elevii să știe doar cum ar trebui să arate anumite cifre. Ei nu se pot limita la informații doar despre care triunghi este obtuz și care este drept. Cursul de matematică necesită ca cunoștințele lor despre caracteristicile de bază ale figurilor să fie mai complete.

Deci, fiecare școlar ar trebui să înțeleagă definiția bisectoarei, medianei, bisectoarei perpendiculare și a înălțimii. În plus, el trebuie să cunoască proprietățile lor de bază.

Astfel, bisectoarele împart un unghi în jumătate, iar latura opusă în segmente care sunt proporționale cu laturile adiacente.

Mediana împarte orice triunghi în două cu suprafață egală. În punctul în care se intersectează, fiecare dintre ele este împărțit în 2 segmente într-un raport de 2: 1, atunci când este privit de la vârful din care a ieșit. În acest caz, mediana mare este întotdeauna atrasă de partea sa cea mai mică.

Nu se acordă mai puțină atenție înălțimii. Acesta este perpendicular pe partea opusă colțului. Înălțimea unui triunghi obtuz are propriile sale caracteristici. Dacă este desenat dintr-un vârf ascuțit, atunci nu ajunge pe latura acestui poligon cel mai simplu, ci pe continuarea lui.

Bisectoarea perpendiculară este segmentul de dreaptă care se extinde din centrul feței triunghiului. În plus, este situat într-un unghi drept față de acesta.

Lucrul cu cercuri

La începutul studierii geometriei, este suficient ca copiii să înțeleagă cum să deseneze un triunghi obtuz, să învețe să-l distingă de alte tipuri și să-și amintească proprietățile de bază. Dar pentru elevii de liceu aceste cunoștințe nu mai sunt suficiente. De exemplu, la examenul de stat unificat există adesea întrebări despre cercurile circumscrise și înscrise. Primul dintre ele atinge toate cele trei vârfuri ale triunghiului, iar al doilea are un punct comun cu toate laturile.

Construirea unui triunghi obtuz înscris sau circumscris este mult mai dificilă, deoarece pentru a face acest lucru trebuie mai întâi să aflați unde ar trebui să fie centrul cercului și raza acestuia. Apropo, în acest caz, nu numai un creion cu riglă, ci și o busolă va deveni un instrument necesar.

Aceleași dificultăți apar la construirea poligoanelor înscrise cu trei laturi. Matematicienii au dezvoltat diverse formule care le permit să-și determine locația cât mai exact posibil.

Triunghiuri înscrise

După cum am spus mai devreme, dacă un cerc trece prin toate cele trei vârfuri, atunci se numește cerc circumscripționar. Proprietatea sa principală este că este unică. Pentru a afla cum ar trebui să fie situat cercul circumscris unui triunghi obtuz, trebuie să vă amintiți că centrul său se află la intersecția celor trei perpendiculare bisectoriale care merg pe laturile figurii. Dacă într-un poligon cu unghi ascuțit cu trei vârfuri acest punct va fi situat în interiorul lui, atunci într-un poligon cu unghi obtuz va fi în afara lui.

Știind, de exemplu, că una dintre laturile unui triunghi obtuz este egală cu raza acestuia, puteți găsi unghiul care se află opus feței cunoscute. Sinusul său va fi egal cu rezultatul împărțirii lungimii laturii cunoscute la 2R (unde R este raza cercului). Adică, păcatul unghiului va fi egal cu ½. Aceasta înseamnă că unghiul va fi egal cu 150°.

Dacă trebuie să găsiți circumraza unui triunghi obtuz, atunci veți avea nevoie de informații despre lungimea laturilor sale (c, v, b) și aria sa S. La urma urmei, raza se calculează astfel: (c x v x b) : 4 x S. Apropo, nu contează, ce tip de figură ai: un triunghi obtuz scalen, isoscel, drept sau în unghi ascuțit. În orice situație, datorită formulei de mai sus, puteți afla aria unui poligon dat cu trei laturi.

Triunghiuri circumscrise

De asemenea, de multe ori trebuie să lucrați cu cercuri înscrise. Conform unei formule, raza unei astfel de figuri, înmulțită cu ½ perimetru, va fi egală cu aria triunghiului. Adevărat, pentru a-ți da seama, trebuie să cunoști laturile unui triunghi obtuz. La urma urmei, pentru a determina jumătate din perimetru, trebuie să adăugați lungimile lor și să le împărțiți la 2.

Pentru a înțelege unde ar trebui să fie centrul unui cerc înscris într-un triunghi obtuz, este necesar să desenați trei bisectoare. Acestea sunt liniile care bisectează colțurile. Centrul cercului va fi situat la intersecția lor. În acest caz, va fi echidistant de fiecare parte.

Raza unui astfel de cerc înscris într-un triunghi obtuz este egală cu câtul (p-c) x (p-v) x (p-b): p. În acest caz, p este semiperimetrul triunghiului, c, v, b sunt laturile sale.

Cum se desenează un triunghi?

Construcția diferitelor triunghiuri este un element obligatoriu al cursului de geometrie școlară. Pentru mulți, această sarcină provoacă frică. Dar, de fapt, totul este destul de simplu. Următorul articol descrie cum să desenați orice tip de triunghi folosind o busolă și o riglă.

Există triunghiuri

• versatil;
• isoscel;
• echilateral;
• dreptunghiular;
• obtuz-unghiular;
• unghi ascuțit;
• înscris într-un cerc;
• descris în jurul unui cerc.

Construcția unui triunghi echilateral

Un triunghi echilateral este unul în care toate laturile sunt egale. Dintre toate tipurile de triunghiuri, triunghiurile echilaterale sunt cele mai ușor de desenat.

1. Folosind o riglă, desenați una dintre laturi la o lungime dată.
2. Măsurați-i lungimea folosind o busolă.
3. Puneți punctul busolei la un capăt al segmentului și desenați un cerc.
4. Mutați punctul la celălalt capăt al segmentului și desenați un cerc.
5. Avem 2 puncte de intersecție a cercurilor. Conectând oricare dintre ele la marginile segmentului, obținem un triunghi echilateral.

Construcția unui triunghi isoscel

Acest tip de triunghiuri pot fi construite folosind baza și laturile.

Un triunghi isoscel este unul în care două laturi sunt egale. Pentru a desena un triunghi isoscel folosind acești parametri, trebuie să efectuați următorii pași:

1. Folosind o riglă, marcați un segment de lungime egală cu baza. O notăm cu literele AC.
2. Folosind o busolă, măsurați lungimea laterală necesară.
3. Din punctul A, și apoi din punctul C, desenăm cercuri a căror rază este egală cu lungimea laturii.
4. Obținem două puncte de intersecție. Conectând unul dintre ele cu punctele A și C, obținem triunghiul necesar.

Construirea unui triunghi dreptunghic

Un triunghi cu un unghi drept se numește triunghi dreptunghic. Dacă ni se oferă un catet și o ipotenuză, desenarea unui triunghi dreptunghic nu este dificil. Poate fi construit folosind un catet și o ipotenuză.

Construirea unui triunghi obtuz folosind un unghi și două laturi adiacente

Dacă unul dintre unghiurile unui triunghi este obtuz (mai mult de 90 de grade), se numește obtuz. Pentru a desena un triunghi obtuz folosind parametrii specificați, trebuie să faceți următoarele:

1. Folosind o riglă, marcați un segment de lungime egală cu una dintre laturile triunghiului. Să-l notăm cu literele A și D.
2. Dacă un unghi a fost deja desenat în sarcină și trebuie să desenați același unghi, atunci pe imaginea sa puneți două segmente, ambele capete se află la vârful unghiului, iar lungimea este egală cu laturile indicate. Conectați punctele rezultate. Avem triunghiul dorit.
3. Pentru a-l transfera în desen, trebuie să măsurați lungimea celei de-a treia părți.

Construcția unui triunghi acut

Un triunghi ascuțit (toate unghiurile mai mici de 90 de grade) este construit folosind același principiu.

1. Desenați două cercuri. Centrul unuia dintre ele se află în punctul D, iar raza este egală cu lungimea celei de-a treia laturi, iar centrul celei de-a doua este în punctul A, iar raza este egală cu lungimea laturii indicate în sarcină .
2. Conectați unul dintre punctele de intersecție ale cercului cu punctele A și D. Se construiește triunghiul necesar.

Triunghi înscris

Pentru a desena un triunghi într-un cerc, trebuie să vă amintiți teorema, care afirmă că centrul cercului circumscris se află la intersecția bisectoarelor perpendiculare:

Pentru un triunghi obtuz, centrul cercului circumscris se află în afara triunghiului, în timp ce pentru un triunghi dreptunghic se află la mijlocul ipotenuzei.

Desenați un triunghi circumscris

Un triunghi circumscris este un triunghi în centrul căruia este desenat un cerc atingând toate laturile sale. Centrul cercului se află la intersecția bisectoarelor. Pentru a le construi aveți nevoie de:

Cum se construiește un triunghi isoscel? Acest lucru este ușor de realizat cu o riglă, un creion și celule pentru caiet.

Începem construcția unui triunghi isoscel de la bază. Pentru a face modelul par, numărul de celule de la bază trebuie să fie un număr par.

Împărțiți segmentul - baza triunghiului - în jumătate.

Vârful triunghiului poate fi ales la orice înălțime de la bază, dar întotdeauna exact deasupra mijlocului.

Cum se construiește un triunghi isoscel acut?

Unghiurile de la baza unui triunghi isoscel pot fi doar acute. Pentru ca un triunghi isoscel să fie acut, unghiul de la vârf trebuie să fie și el acut.

Pentru a face acest lucru, selectați vârful triunghiului mai sus, departe de bază.

Cu cât vârful este mai mare, cu atât unghiul apexului este mai mic. Unghiurile de la bază cresc în mod corespunzător.

Cum se construiește un triunghi isoscel obtuz?

Pe măsură ce vârful unui triunghi isoscel se apropie de bază, gradul de măsură a unghiului la vârf crește.

Aceasta înseamnă că pentru a construi un triunghi obtuz isoscel, selectăm un vârf inferior.

Cum se construiește un triunghi dreptunghic isoscel?

Pentru a construi un triunghi dreptunghic isoscel, trebuie să selectați un vârf la o distanță egală cu jumătate din bază (acest lucru se datorează proprietăților unui triunghi dreptunghic isoscel).

De exemplu, dacă lungimea bazei este de 6 celule, atunci plasăm vârful triunghiului la o înălțime de 3 celule deasupra mijlocului bazei. Vă rugăm să rețineți: în acest caz, fiecare celulă de la colțurile de la bază este împărțită în diagonală.

Construcția unui triunghi dreptunghic isoscel poate fi începută de la vârf.

Selectăm un vârf și din acesta în unghi drept așezăm segmente egale în sus și la dreapta. Acestea sunt laturile triunghiului.

Să le conectăm și să obținem un triunghi dreptunghic isoscel.

Vom lua în considerare construcția unui triunghi isoscel folosind un compas și o riglă fără diviziuni într-un alt subiect.

Instrucțiuni

Așezați acul busolei în punctul marcat. Folosind un picior cu un stilou, desenați un arc de cerc cu o rază măsurată.

Plasați un punct oriunde de-a lungul circumferinței arcului desenat. Acesta va fi al doilea vârf B al triunghiului creat.

Așezați piciorul pe al doilea vârf într-un mod similar. Desenați un alt cerc astfel încât să îl intersecteze pe primul.

Al treilea vârf C al triunghiului creat este situat în punctul de intersecție al ambelor arce desenate. Marcați-l pe imagine.

După ce ați primit toate cele trei vârfuri, conectați-le cu linii drepte folosind orice suprafață plană (de preferință o riglă). Se construiește triunghiul ABC.

Dacă un cerc atinge toate cele trei laturi ale unui triunghi dat și centrul său se află în interiorul triunghiului, atunci se numește înscris în triunghi.

Vei avea nevoie

• riglă, busolă

Instrucțiuni

Din vârfurile triunghiului (latura opusă unghiului fiind împărțită), se trasează cu compas arce de cerc de rază arbitrară până se intersectează între ele;

Punctul de intersecție al arcelor de-a lungul riglei este legat de vârful unghiului divizibil;

La fel se procedează cu orice alt unghi;

Raza unui cerc înscris într-un triunghi va fi raportul dintre aria triunghiului și semiperimetrul acestuia: r=S/p, unde S este aria triunghiului și p=(a+ b+c)/2 este semiperimetrul triunghiului.

Raza unui cerc înscris într-un triunghi este echidistant de toate laturile triunghiului.

Surse:

• http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm

Să luăm în considerare problema construirii unui triunghi, cu condiția ca cele trei laturi ale sale sau o latură și două unghiuri să fie cunoscute.

Vei avea nevoie

• - busolă
• - rigla
• - raportor

Instrucțiuni

Să presupunem că există trei laturi: a, b și c. Folosirea lui nu este dificilă cu astfel de părți. Mai întâi, să selectăm cea mai lungă dintre aceste laturi, să fie partea c și să o desenăm. Apoi setăm deschiderea busolei la valoarea celeilalte laturi, latura a, și desenăm un cerc cu un compas de raza a cu centrul la unul dintre capetele laturii c. Acum setați deschiderea busolei la dimensiunea laturii b și desenați un cerc cu centrul la celălalt capăt al laturii c. Raza acestui cerc este b. Să conectăm punctul de intersecție al cercurilor cu centrele și să obținem un triunghi cu laturile necesare.

Pentru a desena un triunghi cu o latură dată și două unghiuri adiacente, folosiți un raportor. Desenați o latură de lungimea specificată. La marginile sale, marcați colțurile cu un raportor. La intersecția laturilor unghiurilor, obțineți al treilea vârf al triunghiului.

Video pe tema

Notă

Pentru laturile unui triunghi, următoarea afirmație este adevărată: suma lungimilor oricăror două laturi trebuie să fie mai mare decât a treia. Dacă acest lucru nu este îndeplinit, atunci este imposibil să construiți un astfel de triunghi.

Cercurile din pasul 1 se intersectează în două puncte. Puteți alege oricare, triunghiurile vor fi egale.

Un triunghi obișnuit este unul în care toate laturile au aceeași lungime. Pe baza acestei definiții, construirea acestui tip de triunghi nu este o sarcină dificilă.

Vei avea nevoie

• Riglă, coală de hârtie liniată, creion

Instrucțiuni

Folosind o riglă, conectați secvențial punctele marcate pe bucata de hârtie, unul după altul, așa cum se arată în Figura 2.

Notă

Într-un triunghi regulat (echilateral), toate unghiurile sunt egale cu 60 de grade.

Sfaturi utile

Un triunghi echilateral este, de asemenea, un triunghi isoscel. Dacă un triunghi este isoscel, înseamnă că 2 din cele 3 laturi ale sale sunt egale, iar a treia latură este considerată baza. Orice triunghi regulat este isoscel, în timp ce inversul nu este adevărat.

Orice triunghi echilateral are aceleași nu numai laturi, ci și unghiuri, fiecare dintre ele egal cu 60 de grade. Cu toate acestea, un desen al unui astfel de triunghi, construit folosind un raportor, nu va fi foarte precis. Prin urmare, pentru a construi această figură, este mai bine să folosiți o busolă.

Vei avea nevoie

• Creion, riglă, busolă

Instrucțiuni

Apoi luați o busolă, plasați-o la capete (viitorul vârf al triunghiului) și desenați un cerc cu o rază egală cu lungimea acestui segment. Nu trebuie să desenați întregul cerc, ci doar să desenați un sfert din el, de la marginea opusă a segmentului.

Acum mutați busola la celălalt capăt al segmentului și desenați din nou un cerc de aceeași rază. Aici va fi suficient să construiți un cerc care trece de la capătul îndepărtat al segmentului până la intersecția cu arcul deja construit. Punctul rezultat va fi al treilea vârf al triunghiului tău.

Pentru a finaliza construcția, luați din nou rigla și creionul și conectați punctul de intersecție al celor două cercuri cu ambele capete ale segmentului. Veți ajunge la un triunghi în care toate cele trei laturi sunt exact egale - acest lucru poate fi verificat cu ușurință cu o riglă.

Video pe tema

Un triunghi este un poligon care are trei laturi. Un triunghi echilateral sau regulat este un triunghi în care toate laturile și unghiurile sunt egale. Să ne uităm la cum să desenăm un triunghi obișnuit.

Vei avea nevoie

• Riglă, busolă.

Instrucțiuni

Folosind o busolă, desenați un alt cerc, al cărui centru va fi în punctul B, iar raza va fi egală cu segmentul BA.

Cercurile se vor intersecta în două puncte. Alegeți oricare dintre ele. Numiți-o C. Acesta va fi al treilea vârf al triunghiului.

Conectați vârfurile între ele. Triunghiul rezultat va fi corect. Asigurați-vă de acest lucru măsurându-i laturile cu o riglă.

Să luăm în considerare o modalitate de a construi un triunghi obișnuit folosind două rigle. Desenați un segment OK, acesta va fi una dintre laturile triunghiului, iar punctele O și K vor fi vârfurile sale.

Fără a muta rigla după construirea segmentului OK, atașați o altă riglă perpendiculară pe aceasta. Desenați o linie dreaptă m care intersectează segmentul OK în mijloc.

Folosind o riglă, măsurați un segment OE egal cu un segment OK, astfel încât un capăt să coincidă cu punctul O și celălalt să fie pe linia dreaptă m. Punctul E va fi al treilea vârf al triunghiului.

Finalizați construcția triunghiului legând punctele E și K. Verificați corectitudinea construcției folosind o riglă.

Notă

Vă puteți asigura că triunghiul este regulat folosind un raportor, măsurând unghiurile.

Sfaturi utile

Un triunghi echilateral poate fi desenat și pe o foaie de hârtie în carouri folosind o riglă. În loc să folosiți o altă riglă, folosiți linii perpendiculare.

Surse:

• Clasificarea triunghiurilor. Triunghiuri echilaterale
• Ce este un triunghi
• construirea unui triunghi regulat

Un triunghi înscris este unul ale cărui vârfuri sunt toate pe cerc. Îl poți construi dacă cunoști cel puțin o latură și un unghi. Cercul împrejur se numește cerc împrejur și va fi singurul pentru acest triunghi.

Vei avea nevoie

• - cerc;
• - latura si unghiul unui triunghi;
• - hartie;
• - busolă;
• - rigla;
• - raportor;
• - calculator.

Instrucțiuni

Din punctul A, utilizați un raportor pentru a reprezenta unghiul dat. Continuați latura unghiului până când se intersectează cu cercul și plasați punctul C. Conectați punctele B și C. Aveți un triunghi ABC. Poate fi de orice tip. Centrul cercului pentru un triunghi ascuțit este în exterior, pentru un triunghi obtuz este în exterior, iar pentru un triunghi dreptunghiular este pe ipotenuză. Dacă vi se oferă nu un unghi, ci, de exemplu, trei laturi ale unui triunghi, calculați unul dintre unghiurile din rază și latura cunoscută.

Mult mai des trebuie să te ocupi de construcția inversă, când ți se oferă un triunghi și trebuie să descrii un cerc în jurul lui. Calculați-i raza. Acest lucru se poate face folosind mai multe formule, în funcție de ceea ce ți se dă. Raza poate fi găsită, de exemplu, după latura și sinusul unghiului opus. În acest caz, este egală cu lungimea laturii împărțită de două ori sinusul unghiului opus. Adică R=a/2sinCAB. Poate fi exprimat și prin produsul laturilor, în acest caz R=abc/√(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).

Determinați centrul cercului. Împărțiți toate părțile în jumătate și trageți perpendiculare pe punctele de mijloc. Punctul de intersecție a acestora va fi centrul cercului. Desenați-l astfel încât să intersecteze toate vârfurile colțurilor.

Cele două laturi scurte ale unui triunghi dreptunghic, care sunt de obicei numite catete, prin definiție trebuie să fie perpendiculare între ele. Această proprietate a figurii facilitează foarte mult construcția acesteia. Cu toate acestea, nu este întotdeauna posibil să se determine cu exactitate perpendicularitatea. În astfel de cazuri, puteți calcula lungimile tuturor laturilor - vă vor permite să construiți un triunghi în singurul mod posibil și, prin urmare, corect.

Vei avea nevoie

• Hârtie, creion, riglă, raportor, busolă, pătrat.