Proprietățile funcției liniare y kx b. Funcție liniară

După cum arată practica, sarcinile privind proprietățile și graficele unei funcții pătratice provoacă dificultăți serioase. Acest lucru este destul de ciudat, deoarece ei studiază funcția pătratică în clasa a 8-a, iar apoi pe parcursul primului trimestru al clasei a IX-a „chinuiază” proprietățile parabolei și își construiesc grafice pentru diferiți parametri.

Acest lucru se datorează faptului că atunci când îi forțează pe elevi să construiască parabole, practic nu dedică timp „citirii” graficelor, adică nu exersează înțelegerea informațiilor primite din imagine. Aparent, se presupune că, după construirea unei duzini sau două grafice, un student inteligent va descoperi însuși și va formula relația dintre coeficienții din formulă și aspectul graficului. În practică, acest lucru nu funcționează. Pentru o astfel de generalizare, este necesară o experiență serioasă în mini-cercetare matematică, pe care, desigur, majoritatea elevilor de clasa a IX-a nu o posedă. Între timp, Inspectoratul de Stat propune să se determine semnele coeficienților folosind graficul.

Nu vom cere imposibilul de la școlari și vom oferi pur și simplu unul dintre algoritmii pentru rezolvarea unor astfel de probleme.

Deci, o funcție a formei y = ax 2 + bx + c numit pătratic, graficul său este o parabolă. După cum sugerează și numele, termenul principal este toporul 2. Acesta este A nu trebuie să fie egal cu zero, coeficienții rămași ( bȘi Cu) poate fi egal cu zero.

Să vedem cum semnele coeficienților săi afectează aspectul unei parabole.

Cea mai simplă dependență pentru coeficient A. Majoritatea școlarilor răspund cu încredere: „dacă A> 0, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, iar dacă A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

În acest caz A = 0,5

Și acum pentru A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

În acest caz A = - 0,5

Impactul coeficientului Cu De asemenea, este destul de ușor de urmărit. Să ne imaginăm că vrem să găsim valoarea unei funcții într-un punct X= 0. Înlocuiți zero în formula:

y = A 0 2 + b 0 + c = c. Se pare că y = c. Acesta este Cu este ordonata punctului de intersecție al parabolei cu axa y. De obicei, acest punct este ușor de găsit pe grafic. Și stabiliți dacă se află peste zero sau mai jos. Acesta este Cu> 0 sau Cu < 0.

Cu > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Cu < 0

y = x 2 + 4x - 3

În consecință, dacă Cu= 0, atunci parabola va trece neapărat prin origine:

y = x 2 + 4x

Mai dificil cu parametrul b. Punctul în care îl vom găsi depinde nu numai de b dar si din A. Acesta este vârful parabolei. Abscisa sa (coordonatele axei X) se găsește prin formula x în = - b/(2a). Prin urmare, b = - 2ax in. Adică, procedăm astfel: găsim vârful parabolei pe grafic, determinăm semnul abscisei sale, adică privim în dreapta lui zero ( x in> 0) sau la stânga ( x in < 0) она лежит.

Cu toate acestea, asta nu este tot. Trebuie să fim atenți și la semnul coeficientului A. Adică, uită-te la locul în care sunt îndreptate ramurile parabolei. Și numai după aceea, după formula b = - 2ax in determina semnul b.

Să ne uităm la un exemplu:

Ramurile sunt îndreptate în sus, ceea ce înseamnă A> 0, parabola intersectează axa la sub zero înseamnă Cu < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Deci b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Cu < 0.

Definiția unei funcții liniare

Să introducem definiția unei funcții liniare

Definiție

O funcție de forma $y=kx+b$, unde $k$ este diferit de zero, se numește funcție liniară.

Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă. Numărul $k$ se numește panta dreptei.

Când $b=0$ funcția liniară se numește funcție de proporționalitate directă $y=kx$.

Luați în considerare figura 1.

Orez. 1. Sensul geometric al pantei unei drepte

Luați în considerare triunghiul ABC. Vedem că $ВС=kx_0+b$. Să găsim punctul de intersecție al dreptei $y=kx+b$ cu axa $Ox$:

\ \

Deci $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Să găsim raportul dintre aceste laturi:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Pe de altă parte, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Astfel, putem trage următoarea concluzie:

Concluzie

Sensul geometric al coeficientului $k$. Coeficientul unghiular al dreptei $k$ este egal cu tangentei unghiului de înclinare a acestei drepte la axa $Ox$.

Studiul funcției liniare $f\left(x\right)=kx+b$ și graficul acesteia

Mai întâi, luați în considerare funcția $f\left(x\right)=kx+b$, unde $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. În consecință, această funcție crește pe întregul domeniu de definiție. Nu există puncte extreme.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Grafic (Fig. 2).

Orez. 2. Grafice ale funcției $y=kx+b$, pentru $k > 0$.

Acum luați în considerare funcția $f\left(x\right)=kx$, unde $k

1. Domeniul definiției sunt toate numerele.
2. Intervalul de valori este format din toate numerele.
3. $f\stanga(-x\dreapta)=-kx+b$. Funcția nu este nici pară, nici impară.
4. Pentru $x=0,f\left(0\right)=b$. Când $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Puncte de intersecție cu axe de coordonate: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ și $\left(0,\b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Prin urmare, funcția nu are puncte de inflexiune.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Grafic (Fig. 3).

„Puncte critice ale unei funcții” - Puncte critice. Printre punctele critice există puncte extreme. O condiție necesară pentru un extremum. Răspuns: 2. Definiție. Dar, dacă f" (x0) = 0, atunci nu este necesar ca punctul x0 să fie un punct extrem. Puncte extreme (repetiție). Puncte critice ale funcției. Puncte extreme.

„Plan de coordonate clasa a VI-a” - Matematică clasa a VI-a. 1. X. 1. Găsiți și notați coordonatele punctelor A, B, C, D: -6. Planul de coordonate. O. -3. 7. U.

„Funcțiile și graficele lor” - Continuitate. Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții. Conceptul de funcție inversă. Liniar. Logaritmic. Monoton. Dacă k > 0, atunci unghiul format este ascuțit, dacă k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

„Funcții clasa a IX-a” - Operații aritmetice valabile pe funcții. [+] – adunare, [-] – scădere, [*] – înmulțire, [:] – împărțire. În astfel de cazuri, vorbim despre specificarea grafică a funcției. Formarea unei clase de funcţii elementare. Funcția de putere y=x0,5. Iovlev Maxim Nikolaevici, elev în clasa a IX-a la Școala Gimnazială RMOU Raduzhskaya.

„Lecția Ecuație tangentă” - 1. Clarificați conceptul de tangentă la graficul unei funcții. Leibniz a luat în considerare problema trasării unei tangente la o curbă arbitrară. ALGORITM DE DEZVOLTARE A ECUATIEI PENTRU O TANGENTA LA GRAFICUL FUNCTIEI y=f(x). Subiectul lecției: Test: găsiți derivata unei funcții. Ecuația tangentei. Curgere. Clasa 10. Descifrează ceea ce Isaac Newton a numit funcția derivată.

„Construiți un grafic al unei funcții” - Este dată funcția y=3cosx. Graficul funcției y=m*sin x. Reprezentați grafic funcția. Cuprins: Având în vedere funcția: y=sin (x+?/2). Întinderea graficului y=cosx de-a lungul axei y. Pentru a continua, faceți clic pe l. Butonul mouse-ului. Având în vedere funcția y=cosx+1. Graficul decalajelor y=sinx pe verticală. Având în vedere funcția y=3sinx. Deplasarea orizontală a graficului y=cosx.

Există un total de 25 de prezentări în acest subiect

În clasa a VII-a am studiat funcțiile y = C, y = kx, y = kx + m, y = x 2 și în cele din urmă a ajuns la concluzia că o ecuație cu două variabile de forma y = f(x) (funcție) este un model matematic convenabil pentru, după ce a dat o anumită valoare a variabilei independente x (argument), să se calculeze

valoarea corespunzătoare a variabilei dependente y. De exemplu, dacă este dată funcția y = x 2, i.e. f(x) = x 2, atunci pentru x = 1 obținem y = 1 2 = 1; Pe scurt, se scrie astfel: f(1) = 1. Pentru x = 2 obținem f(2) = 2 2 = 4, adică y = 4; pentru x = - 3 obținem f(- 3) = (- 3) 2 = 9, adică y = 9 etc.

Deja în clasa a VII-a, tu și cu mine am început să înțelegem că în egalitatea y = f(x) partea dreaptă, adică. expresia f(x) nu se limitează la cele patru cazuri enumerate mai sus (C, kx, kx + m, x 2).
De exemplu, am întâlnit deja funcții pe bucăți, adică funcții definite de formule diferite pe intervale diferite. Iată o astfel de funcție:

y = f(x), unde

Vă amintiți cum să reprezentați grafic astfel de funcții? Mai întâi trebuie să construiți o parabolă y = x 2 și să luați parte la x< 0 (левая ветвь параболы, рис. 1), затем надо построить прямую у = 2х и взять ее часть при х >0 (Fig. 2). Și, în sfârșit, ambele părți selectate trebuie să fie combinate într-un singur desen, adică construite pe același plan de coordonate (vezi Fig. 3).

Acum sarcina noastră este următoarea: să reumplem stocul de funcții studiate. În viața reală, există procese descrise de diverse modele matematice de forma y = f(x), nu doar cele pe care le-am enumerat mai sus. În această secțiune vom lua în considerare funcția y = kx 2, unde coeficientul k este orice număr diferit de zero.

De fapt, funcția y = kx 2 într-un caz vă este puțin familiară. Uite: dacă k = 1, atunci obținem y = x 2; Ați studiat această funcție în clasa a VII-a și probabil vă amintiți că graficul ei este o parabolă (Fig. 1). Să discutăm ce se întâmplă la alte valori ale coeficientului k.
Luați în considerare două funcții: y = 2x 2 și y = 0,5x 2. Să facem un tabel de valori pentru prima funcție y = 2x 2:

Să construim punctele (0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1,5; 4,5), (-1,5; 4,5) pe planul de coordonate (Fig. 4); ei conturează o anumită linie, să o desenăm

(Fig. 5).
Să facem un tabel de valori pentru a doua funcție y = 0,5x 2:

Să construim punctele (0; 0), (1; 0,5), (-1; 0,5), (2; 2), (-2; 2), C; 4.5), (-3; 4.5) pe planul de coordonate (Fig. 6); ei conturează o anumită linie, să o desenăm (Fig. 7)

.

Punctele prezentate în fig. 4 și 6 sunt uneori numite puncte de control pentru graficul funcției corespunzătoare.

Comparați figurile 1, 5 și 7. Nu este adevărat că liniile trasate sunt similare? Fiecare dintre ele se numește parabolă; în acest caz, punctul (0; 0) se numește vârful parabolei, iar axa y este axa de simetrie a parabolei. „Viteza de mișcare în sus” a ramurilor parabolei depinde de valoarea coeficientului k sau, după cum se spune,
„gradul de abrupt” al unei parabole. Acest lucru este clar vizibil în Fig. 8, unde toate cele trei parabole construite mai sus sunt situate pe același plan de coordonate.

Situația este exact aceeași cu orice altă funcție de forma y = kx 2, unde k > 0. Graficul său este o parabolă cu vârful la origine, ramurile parabolei sunt îndreptate în sus și cu cât este mai abruptă, cu atât este mai mare. coeficientul k. Axa y este axa de simetrie a parabolei. Apropo, de dragul conciziei, matematicienii spun adesea „parabola y = kx 2” în loc de expresia lungă „parabola care servește ca grafic al funcției y = kx 2” și în loc de termenul „axa de simetrie a o parabolă” folosesc termenul „axă parabolă”.

Observați că există o analogie cu funcția y = kx? Dacă k > 0, atunci graficul funcției y = kx este o dreaptă care trece prin originea coordonatelor (rețineți că am spus pe scurt: linia dreaptă y = kx), și aici, de asemenea, „gradul de abrupție” al linia dreaptă depinde de valoarea coeficientului k. Acest lucru este clar vizibil pe
orez. 9, unde graficele funcțiilor liniare y = kx sunt afișate într-un sistem de coordonate pentru trei valori ale coeficientului

Să revenim la funcția y = kx 2. Să aflăm cum stau lucrurile în cazul unui coeficient negativ ft. Să construim, de exemplu, un grafic al funcției

y = - x 2 (aici k = - 1). Să creăm un tabel de valori:

Marcați punctele (0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; - 9) pe planul de coordonate (Fig. 10); ei conturează o anumită linie, să o desenăm (Fig. 11). Aceasta este o parabolă cu vârful în punctul (0; 0), axa y este axa de simetrie, dar spre deosebire de cazul în care k > 0, de această dată ramurile parabolei sunt îndreptate în jos. Situația este similară pentru alte valori negative ale coeficientului k.

Deci, graficul unei funcții este o parabolă cu vârful său la origine; axa y este axa parabolei; ramurile parabolei sunt îndreptate în sus la k>0 u în jos la k<0.

Să observăm, de asemenea, că parabola y = kx 2 atinge axa x în punctul (0; 0), adică o ramură a parabolei trece lin în cealaltă, ca și cum ar apăsa pe axa x.
Dacă trasați grafice ale funcțiilor y = x2 și y = - x2 în același sistem de coordonate, atunci este ușor de observat că aceste parabole sunt simetrice între ele în raport cu axa x, ceea ce este clar vizibil în Fig. 12. În același mod, parabolele y = 2x 2 și y = - 2x 2 sunt simetrice între ele în raport cu axa x (nu fi leneș, construiește acestea
două parabole în același sistem de coordonate și asigurați-vă că afirmația este adevărată).

În general, graficul funcției y = - f(x) este simetric cu graficul funcției y = f(x) în raport cu abscisa.

Proprietățile funcției y = kx 2 pentru k > 0

Descriind proprietățile acestei funcții, ne vom baza pe modelul ei geometric - o parabolă (Fig. 13).

1. Deoarece pentru orice valoare a lui x valoarea corespunzătoare a lui y poate fi calculată folosind formula y = kx 2, funcția este definită în orice punct x (pentru orice valoare a argumentului x). Pe scurt, se scrie astfel: domeniul de definire al funcției este (-oo, +oo), adică întreaga linie de coordonate.

2. y = 0 la x = 0; y > O la . Acest lucru poate fi văzut și din graficul funcției (este situat în întregime deasupra axei x), dar poate fi justificat fără ajutorul unui grafic: dacă

Atunci kx 2 > O ca produsul a două numere pozitive k și x 2 .

3. y = kx 2 este o funcție continuă. Să reamintim că deocamdată considerăm acest termen drept sinonim pentru propoziția „graficul unei funcții este o linie continuă care poate fi trasată fără a ridica creionul de pe hârtie”. La clasele superioare se va da o interpretare matematică mai precisă a conceptului de continuitate a unei funcții, fără a se baza pe ilustrarea geometrică.

4.y/ naim = 0 (realizat la x = 0); nai6 nu exista.

Reamintim că (/max este cea mai mică valoare a funcției, iar Unaib. este cea mai mare valoare a funcției pe un interval dat; dacă intervalul nu este specificat, atunci unaim- și y max. sunt, respectiv, cel mai mic și cel mai mare valorile funcției în domeniul definiției.

5. Funcția y = kx 2 crește pe măsură ce x > O și scade pe măsură ce x< 0.

Să ne amintim că la cursul de algebră de clasa a VII-a am convenit să numim o funcție al cărei grafic al intervalului luat în considerare merge de la stânga la dreapta ca „în sus”, crescător și o funcție al cărei grafic al intervalului luat în considerare merge de la stânga la drept ca „în jos”, - în scădere. Mai exact, putem spune astfel: funcția y = f (x) se spune că este crescătoare pe intervalul X dacă pe acest interval îi corespunde o valoare mai mare a argumentului
valoare mai mare a funcției; se spune că o funcție y = f (x) este descrescătoare pe un interval X dacă pe acest interval o valoare mai mare a argumentului îi corespunde unei valori mai mici a funcției.

În manualul Algebra 7, am numit procesul de enumerare a proprietăților unei funcții care citește un grafic. Procesul de citire a unui grafic va deveni treptat mai bogat și mai interesant pe măsură ce învățăm noi proprietăți ale funcțiilor. Am discutat despre cele cinci proprietăți enumerate mai sus în clasa a VII-a pentru funcțiile pe care le-am studiat acolo. Să adăugăm o proprietate nouă.

O funcție y = f(x) se numește mărginită mai jos dacă toate valorile funcției sunt mai mari decât un anumit număr. Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că graficul funcției este situat deasupra unei anumite linii drepte paralele cu axa x.

Acum uitați: graficul funcției y = kx 2 este situat deasupra liniei drepte y = - 1 (sau y = - 2, nu contează) - este prezentat în Fig. 13. Prin urmare, y - kx2 (k > 0) este o funcție mărginită de jos.

Alături de funcțiile mărginite mai jos, sunt luate în considerare și funcțiile mărginite mai sus. Se spune că o funcție y - f(x) este mărginită de sus dacă toate valorile funcției sunt mai mici decât un anumit număr. Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că graficul funcției este situat sub o linie dreaptă paralelă cu axa x.
Există o astfel de linie pentru parabola y = kx 2, unde k > 0? Nu. Aceasta înseamnă că funcția nu este limitată superioară.

Deci, avem încă o proprietate, să o adăugăm la cele cinci enumerate mai sus.

6. Funcția y = kx 2 (k > 0) este mărginită mai jos și nu mărginită deasupra.

Proprietățile funcției y = kx 2 la k< 0

Când descriem proprietățile acestei funcții, ne bazăm pe modelul ei geometric - o parabolă (Fig. 14).

1. Domeniul de definire al funcției este (—oo, +oo).

2. y = 0 la x = 0; la< 0 при .

Z.у = kx 2 este o funcție continuă.
4. y nai6 = 0 (realizat la x = 0), unaim nu există.

5. Funcția crește cu x< 0, убывает при х > 0.

6. Funcția este limitată de sus și nu limitată de jos.

Să explicăm ultima proprietate: există o linie dreaptă paralelă cu axa x (de exemplu, y = 1, este desenată în Fig. 14), astfel încât întreaga parabola să se afle sub această dreaptă; aceasta înseamnă că funcția este mărginită superioară. Pe de altă parte, este imposibil să se tragă o linie dreaptă paralelă cu axa x astfel încât întreaga parabolă să fie situată deasupra acestei linii drepte; aceasta înseamnă că funcția nu este mărginită mai jos.

Ordinea mișcărilor folosită mai sus la enumerarea proprietăților unei funcții nu este o lege, atâta timp cât s-a dezvoltat cronologic în acest fel.

Vom dezvolta treptat o ordine mai mult sau mai puțin definită a mișcărilor și o vom unifica în cursul de algebră de clasa a IX-a.

Exemplul 1. Aflați cele mai mici și cele mai mari valori ale funcției y = 2x 2 pe segmentul: a) ; b) [- 2, - 1]; c) [- 1, 1,5].

Soluţie.
a) Să construim un grafic al funcției y = 2x2 și să evidențiem partea acesteia pe segment (Fig. 15). Remarcăm că 1/nume. = 0 (realizat la x = 0) și y max = 8 (realizat la x = 2).

b) Construiți un grafic al funcției y = 2x2 și evidențiați partea acesteia pe segmentul [- 2, - 1] (Fig. 16). Observăm că 2/max = 2 (realizat la x = - 1) și y max = 8 (realizat la x = - 2).

c) Să construim un grafic al funcției y = 2x2 și să evidențiem partea acesteia pe segmentul [- 1, 1.5] (Fig. 17). Observăm că unanm = 0 (realizat la x = 0), iar y se realizează cel mai mult în punctul x = 1,5; Să calculăm această valoare: (1,5) = 2-1,5 2 = 2-2,25 = 4,5. Deci, y max = 4,5.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația - x 2 = 2x - 3.

Soluţie. În manualul „Algebra-7” am dezvoltat un algoritm pentru rezolvarea grafică a ecuațiilor;

Pentru a rezolva grafic ecuația f(x) = g (x), aveți nevoie de:

1) se consideră două funcții y = -x 2 și y = 2x -3;
2) construiți un grafic al funcției i/ = / (x);
3) construiți un grafic al funcției y = g (x);
4) găsiți punctele de intersecție ale graficelor construite; abscisa-
Sys acestor puncte sunt rădăcinile ecuației f(x) = g (x).
Să aplicăm acest algoritm la ecuația dată.
1) Luați în considerare două funcții: y = - x2 și y = 2x - 3.
2) Să construim o parabolă - un grafic al funcției y = - x 2 (Fig. 18).

3) Să construim un grafic al funcției y = 2x - 3. Aceasta este o linie dreaptă pentru a o construi, este suficient să găsiți oricare două puncte pe grafic; Dacă x = 0, atunci y = - 3; dacă x = 1,

atunci y = -1. Deci, am găsit două puncte (0; -3) și (1; -1). Linia dreaptă care trece prin aceste două puncte (graficul funcției y = 2x - 3) este reprezentată în același

desen (vezi Fig. 18).

4) Conform desenului, constatăm că linia dreaptă și parabola se intersectează în două puncte A(1; -1) și B(-3; -9). Aceasta înseamnă că această ecuație are două rădăcini: 1 și - 3 - acestea sunt abscisele punctelor A și B.

Răspuns: 1,-3.

Cometariu. Desigur, nu poți avea încredere orbește în ilustrațiile grafice. Poate ni se pare că punctul A are coordonate (1; - 1) și mai departe
Sunt de fapt diferite, de exemplu (0,98; - 1,01)?

Prin urmare, este întotdeauna util să vă verificați. Deci, în exemplul luat în considerare, trebuie să vă asigurați că punctul A(1; -1) aparține parabolei y = - x 2 (acest lucru este ușor - doar înlocuiți coordonatele punctului A în formula y = - x 2 ; obținem - 1 = - 1 2 - egalitate numerică corectă) și linia dreaptă y = 2x - 3 (și acest lucru este ușor - doar înlocuiți coordonatele punctului A în formula y = 2x - 3; obținem - 1 = 2-3 - egalitatea numerică corectă). Același lucru trebuie făcut și pentru
punctele 8. Această verificare arată că în ecuația luată în considerare, observațiile grafice au condus la rezultatul corect.

Exemplul 3. Rezolvarea sistemului de ecuații

Soluţie. Să transformăm prima ecuație a sistemului în forma y = - x 2. Graficul acestei funcții este o parabolă prezentată în Fig. 18.
Să transformăm a doua ecuație a sistemului în forma y = 2x - 3. Graficul acestei funcții este linia dreaptă prezentată în Fig. 18.

Parabola și dreapta se intersectează în punctele A (1; -1) și B (- 3; - 9). Coordonatele acestor puncte servesc ca soluții pentru un anumit sistem de ecuații.

Răspuns: (1; -1), (-3; -9).

Exemplul 4. Având în vedere o funcție y - f (x), unde

Necesar:

a) calculați f(-4), f(-2), f(0), f(1.5), f(2), f(3);

b) construiți un grafic al funcției;

c) utilizați un grafic pentru a enumera proprietățile funcției.

Soluţie,

a) Valoarea x = - 4 satisface condiția - prin urmare, f(-4) trebuie calculat folosind prima linie a definiției funcției Avem f(x) = - 0,5x2, ceea ce înseamnă
f(-4) = -0,5 . (-4) 2 = -8.
În mod similar găsim:

f(-2) = -0,5 . (-2) 2 =-2;
f(0) = -0,5 . 0 2 = 0.

Valoarea îndeplinește condiția, deci trebuie calculată folosind a doua linie a specificației funcției. Avem f(x) = x + 1, ceea ce înseamnă

Valoarea x = 1,5 satisface condiția 1< х < 2, т. е. f(1,5) надо вычислять по третьей строке задания функции. Имеем f (х) = 2х 2 , значит,
f(1,5) = 2-1,5 2 = 4,5.
În mod similar, obținem
f(2)= 2 . 2 2 =8.
Valoarea x = 3 nu îndeplinește niciuna dintre cele trei condiții pentru specificarea unei funcții și, prin urmare, f(3) nu poate fi calculată în acest caz punctul x = 3 nu aparține domeniului de definire al funcției; Sarcina de a calcula f(3) este incorectă.

b) Vom construi graficul „piesă cu bucată”. Mai întâi, să construim o parabolă y = -0,5x 2 și să selectăm partea ei pe segmentul [-4, 0] (Fig. 19). Apoi construim dreapta y = x + 1 u. Să selectăm partea sa pe jumătate de interval (0, 1] (Fig. 20). În continuare, vom construi o parabolă y = 2x2 și vom selecta partea sa pe jumătate de interval.

(1, 2] (Fig. 21).

În cele din urmă, vom reprezenta toate cele trei „piese” într-un singur sistem de coordonate; obţinem un grafic al funcţiei y = f(x) (Fig. 22).

c) Să enumerăm proprietățile funcției sau, după cum am convenit să spunem, să citim graficul.

1. Domeniul de definire al funcției este segmentul [—4, 2].

2. y = 0 la x = 0; y > 0 la 0<х<2;у<0 при - 4 < х < 0.

3. Funcția suferă o discontinuitate la x = 0.

4. Funcția crește pe segmentul [-4, 2].

5. Funcția este limitată atât de jos, cât și de sus.

6. y max = -8 (realizat la x = -4); y cele mai6 . = 8 (realizat la x = 2).

Exemplul 5. Este dată funcția y = f(x), unde f(x) = 3x 2. Găsi:

f(1), f(- 2), f(а), f(2а), f(а + 1), f(-х), f(Зх), f(x - 1),
f(x + a), f(x) + 5, f(x) + b, f(x + a) + b, f(x 2), f(2x 3).

Soluţie. Deoarece f (x) = 3x 2, obținem în mod constant:

f(1) =3 .1 2 = 3;
f(a) = Pentru 2;
f(a+1) = 3(a + 1) 2;
f(3x) = 3.(3x) 2 = 27x 2 ;
f(x + a) = 3(x + a) 2 ;

f(x 2) +b = 3x 2 +b
f(x 2) = 3 . (x 2) 2

F(- 2) = Z . (-2) 2 = 12
f(2a) =З . (2a) 2 =12a 2

F(x) =З . (-x) 2 =3x 2

F(-x)+ 5 =3x 2 +5
f(x + a) + b = 3 (x + a) 2 + b;
f(2x 3) = 3 . (2x3)2