Suprafața piramidei. În acest articol ne vom uita la problemele cu piramidele obișnuite. Permiteți-mi să vă reamintesc că o piramidă obișnuită este o piramidă a cărei bază este un poligon regulat, vârful piramidei este proiectat în centrul acestui poligon.

Fața laterală a unei astfel de piramide este un triunghi isoscel.Altitudinea acestui triunghi extras de la vârful unei piramide regulate se numește apotema, SF - apotema:

În tipul de problemă prezentat mai jos, trebuie să găsiți suprafața întregii piramide sau zona suprafeței sale laterale. Blogul a discutat deja mai multe probleme cu piramidele obișnuite, unde s-a pus problema găsirii elementelor (înălțimea, marginea bazei, marginea laterală).

Sarcinile de examinare de stat unificate examinează, de obicei, piramidele obișnuite triunghiulare, patrulatere și hexagonale. Nu am văzut probleme cu piramidele pentagonale și heptagonale obișnuite.

Formula pentru suprafața întregii suprafețe este simplă - trebuie să găsiți suma ariei bazei piramidei și a suprafeței sale laterale:

Să luăm în considerare sarcinile:

Laturile bazei unei piramide patruunghiulare obișnuite sunt 72, marginile laterale sunt 164. Aflați aria suprafeței acestei piramide.

Aria suprafeței piramidei este egală cu suma ariilor suprafeței laterale și ale bazei:

*Suprafața laterală este formată din patru triunghiuri de suprafață egală. Baza piramidei este un pătrat.

Putem calcula aria laturii piramidei folosind:

Astfel, aria suprafeței piramidei este:

Răspuns: 28224

Laturile bazei unei piramide hexagonale obișnuite sunt egale cu 22, marginile laterale sunt egale cu 61. Aflați aria suprafeței laterale a acestei piramide.

Baza unei piramide hexagonale regulate este un hexagon regulat.

Suprafața laterală a acestei piramide este formată din șase zone de triunghiuri egale cu laturile 61,61 și 22:

Să găsim aria triunghiului folosind formula lui Heron:

Astfel, aria suprafeței laterale este:

Răspuns: 3240

*În problemele prezentate mai sus, zona feței laterale poate fi găsită folosind o altă formulă de triunghi, dar pentru aceasta trebuie să calculați apotema.

27155. Aflați aria suprafeței unei piramide patruunghiulare regulate ale cărei laturi de bază sunt 6 și a cărei înălțime este 4.

Pentru a găsi aria suprafeței piramidei, trebuie să cunoaștem aria bazei și aria suprafeței laterale:

Aria bazei este de 36 deoarece este un pătrat cu latura 6.

Suprafața laterală este formată din patru fețe, care sunt triunghiuri egale. Pentru a găsi aria unui astfel de triunghi, trebuie să-i cunoașteți baza și înălțimea (apotema):

*Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul bazei și înălțimea trasă la această bază.

Baza este cunoscută, este egală cu șase. Să găsim înălțimea. Luați în considerare un triunghi dreptunghic (evidențiat cu galben):

Un picior este egal cu 4, deoarece aceasta este înălțimea piramidei, celălalt este egal cu 3, deoarece este egal cu jumătate din marginea bazei. Putem găsi ipotenuza folosind teorema lui Pitagora:

Aceasta înseamnă că aria suprafeței laterale a piramidei este:

Astfel, suprafața întregii piramide este:

Raspuns: 96

27069. Laturile bazei unei piramide patruunghiulare obișnuite sunt egale cu 10, marginile laterale sunt egale cu 13. Aflați aria suprafeței acestei piramide.

27070. Laturile bazei unei piramide hexagonale obișnuite sunt egale cu 10, marginile laterale sunt egale cu 13. Aflați aria suprafeței laterale a acestei piramide.

Există, de asemenea, formule pentru suprafața laterală a unei piramide obișnuite. Într-o piramidă obișnuită, baza este o proiecție ortogonală a suprafeței laterale, prin urmare:

P- perimetrul de bază, l- apotema piramidei

*Această formulă se bazează pe formula pentru aria unui triunghi.

Dacă doriți să aflați mai multe despre cum sunt derivate aceste formule, nu o ratați, urmați publicarea articolelor.Asta e tot. Multă baftă!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.

Suprafața laterală a unei piramide obișnuite este egală cu produsul apotemului acesteia și jumătate din perimetrul bazei.

În ceea ce privește suprafața totală, pur și simplu adăugăm suprafața de bază la cea laterală.

Suprafața laterală a unei piramide regulate este egală cu produsul dintre semiperimetrul bazei și apotema.

Dovada:

Dacă latura bazei este a, numărul de laturi este n, atunci suprafața laterală a piramidei este egală cu:

a l n/2 =a n l/2=pl/2

unde l este apotema și p este perimetrul bazei piramidei. Teorema este demonstrată.

Această formulă se citește astfel:

Aria suprafeței laterale a unei piramide obișnuite este egală cu jumătate din produsul perimetrului bazei și apotema piramidei.

Suprafața totală a piramidei se calculează prin formula:

S deplin = S latură +S de bază

Dacă piramida este neregulată, atunci suprafața ei laterală va fi egală cu suma ariilor fețelor sale laterale.

Volumul piramidei

Volum piramida este egală cu o treime din produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.

Dovada. Vom începe de la o prismă triunghiulară. Să desenăm un plan prin vârful A" al bazei superioare a prismei și marginea opusă BC a bazei inferioare. Acest plan va tăia piramida triunghiulară A" ABC din prismă. Vom descompune partea rămasă a prismei în corpuri solide, trasând un plan prin diagonalele A"C și B"C ale fețelor laterale. Cele două corpuri rezultate sunt, de asemenea, piramide. Considerând că triunghiul A"B"C" este baza uneia dintre ele și C este vârful său, vedem că baza și înălțimea lui sunt aceleași cu cele ale primei piramide pe care am tăiat-o, prin urmare piramidele A"ABC și CA"B"C" au dimensiuni egale. În plus, ambele piramide noi CA"B"C" și A"B"BC au, de asemenea, dimensiuni egale - acest lucru va deveni clar dacă luăm triunghiurile BBC" și B"CC „ ca bazele lor. „Sorii au un vârf comun A”, iar bazele lor sunt situate în același plan și sunt egale, prin urmare, piramidele au dimensiuni egale. Deci, prisma este descompusă în trei piramide de dimensiuni egale; volumul fiecăruia dintre ele este egal cu o treime din volumul prismei, atunci, în general, volumul unei piramide n-gonale este egal cu o treime din volumul unei prisme cu aceeași înălțime și aceeași (. sau egal) Reamintind formula care exprimă volumul unei prisme, V=Sh, obținem rezultatul final: V=1/3Sh.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - să vă dezvăluiți informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare pentru a promova cu succes Examenul de stat unificat la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 ale Examenului de stat Profil unificat la matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. O bază pentru rezolvarea problemelor complexe din partea 2 a examenului de stat unificat.

Instrucțiuni

În primul rând, merită să înțelegem că suprafața laterală a piramidei este reprezentată de mai multe triunghiuri, ale căror zone pot fi găsite folosind o varietate de formule, în funcție de datele cunoscute:

S = (a*h)/2, unde h este înălțimea coborâtă pe latura a;

S = a*b*sinβ, unde a, b sunt laturile triunghiului, iar β este unghiul dintre aceste laturi;

S = (r*(a + b + c))/2, unde a, b, c sunt laturile triunghiului, iar r este raza cercului înscris în acest triunghi;

S = (a*b*c)/4*R, unde R este raza triunghiului circumscris cercului;

S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (dacă triunghiul este dreptunghic);

S = S = (a²*√3)/4 (dacă triunghiul este echilateral).

De fapt, acestea sunt doar cele mai de bază formule cunoscute pentru a găsi aria unui triunghi.

După ce ați calculat ariile tuturor triunghiurilor care sunt fețele piramidei folosind formulele de mai sus, puteți începe să calculați aria acestei piramide. Acest lucru se face extrem de simplu: trebuie să adunați zonele tuturor triunghiurilor care formează suprafața laterală a piramidei. Aceasta poate fi exprimată prin formula:

Sp = ΣSi, unde Sp este aria suprafeței laterale, Si este aria triunghiului i, care face parte din suprafața sa laterală.

Pentru o mai mare claritate, putem lua în considerare un mic exemplu: având în vedere o piramidă regulată, ale cărei fețe laterale sunt formate din triunghiuri echilaterale, iar la baza ei se află un pătrat. Lungimea marginii acestei piramide este de 17 cm. Este necesar să găsiți aria suprafeței laterale a acestei piramide.

Rezolvare: se cunoaște lungimea muchiei acestei piramide, se știe că fețele sale sunt triunghiuri echilaterale. Astfel, putem spune că toate laturile tuturor triunghiurilor de pe suprafața laterală sunt egale cu 17 cm. Prin urmare, pentru a calcula aria oricăruia dintre aceste triunghiuri, va trebui să aplicați formula:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Se știe că la baza piramidei se află un pătrat. Astfel, este clar că există patru triunghiuri echilaterale date. Apoi, aria suprafeței laterale a piramidei se calculează după cum urmează:

125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Răspuns: Suprafața laterală a piramidei este de 500,548 cm²

Mai întâi, să calculăm aria suprafeței laterale a piramidei. Suprafața laterală este suma ariilor tuturor fețelor laterale. Dacă aveți de-a face cu o piramidă obișnuită (adică una care are un poligon regulat la bază, iar vârful este proiectat în centrul acestui poligon), atunci pentru a calcula întreaga suprafață laterală este suficient să înmulțiți perimetrul de baza (adică suma lungimilor tuturor laturilor poligonului situat la piramida bazei) la înălțimea feței laterale (altfel numită apotema) și împărțiți valoarea rezultată la 2: Sb = 1/2P* h, unde Sb este aria suprafeței laterale, P este perimetrul bazei, h este înălțimea feței laterale (apotema).

Dacă aveți o piramidă arbitrară în fața dvs., va trebui să calculați separat ariile tuturor fețelor și apoi să le însumați. Deoarece fețele laterale ale piramidei sunt triunghiuri, utilizați formula pentru aria unui triunghi: S=1/2b*h, unde b este baza triunghiului și h este înălțimea. Când s-au calculat ariile tuturor fețelor, tot ce rămâne este să le adunăm pentru a obține aria suprafeței laterale a piramidei.

Apoi trebuie să calculați aria bazei piramidei. Alegerea formulei de calcul depinde de poligonul care se află la baza piramidei: regulat (adică unul cu toate laturile de aceeași lungime) sau neregulat. Aria unui poligon obișnuit poate fi calculată prin înmulțirea perimetrului cu raza cercului înscris în poligon și împărțind valoarea rezultată la 2: Sn = 1/2P*r, unde Sn este aria poligonului. poligon, P este perimetrul și r este raza cercului înscris în poligon.

O trunchi de piramidă este un poliedru care este format dintr-o piramidă și secțiunea transversală a acesteia paralelă cu baza. Găsirea suprafeței laterale a piramidei nu este deloc dificilă. Este foarte simplu: aria este egală cu produsul dintre jumătate din suma bazelor prin apotem. Să luăm în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide trunchiate. Să presupunem că ni se oferă o piramidă patruunghiulară obișnuită. Lungimile bazei sunt b = 5 cm, c = 3 cm Apotema a = 4 cm Pentru a găsi aria suprafeței laterale a piramidei, trebuie să găsiți mai întâi perimetrul bazelor. Într-o bază mare va fi egală cu p1=4b=4*5=20 cm Într-o bază mai mică formula va fi următoarea: p2=4c=4*3=12 cm : s=1/2(20+12)*4=32/2*4=64 cm.

O piramidă este un poliedru, una dintre ale cărui fețe (bază) este un poligon arbitrar, iar fețele (laturile) rămase sunt triunghiuri având un vârf comun. În funcție de numărul de unghiuri, baza piramidei este triunghiulară (tetraedru), patruunghiulară și așa mai departe.

O piramidă este un poliedru cu o bază sub formă de poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri cu un vârf comun. O apotema este înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite, care este desenată din vârful acesteia.