Самая многогранная фигура. Четырёхмерный куб

Учения о многомерных пространствах начали появляться в середине XIX века. Идею четырехмерного пространства у ученых позаимствовали фантасты. В своих произведениях они поведали миру об удивительных чудесах четвертого измерения.

Герои их произведений, используя свойства четырехмерного пространства, могли съесть содержимое яйца, не повредив скорлупы, выпить напиток, не вскрывая пробку бутылки. Похитители извлекали сокровища из сейфа через четвертое измерение. Хирурги выполняли операции над внутренними органами, не разрезая ткани тела пациента.

Тессеракт

В геометрии гиперкуб - это n-мерная аналогия квадрата (п = 2) и куба (п = 3). Четырёхмерный аналог обычного нашего 3-мерного куба известен под названием тессеракт (tesseract). Тессеракт относится к кубу, как куб относится к квадрату. Более формально, тессеракт может быть описан как правильный выпуклый четырехмерный многогранник, чья граница состоит из восьми кубических ячеек.

Каждая пара непараллельных трёхмерных граней пересекается, образуя двумерные грани (квадраты), и так далее. Окончательно, тессеракт обладает 8 трёхмерными гранями, 24 двумерными, 32 рёбрами и 16 вершинами.
Кстати согласно Оксфордскому словарю, слово tesseract было придумано и начало использоваться в 1888 Чарльзом Говардом Хинтоном (1853-1907) в его книге «Новая эра мысли». Позже некоторые люди назвали ту же самую фигуру тетракубом (греч. тетра - четыре) - четырёхмерным кубом.

Построение и описание

Попытаемся представить себе, как будет выглядеть гиперкуб, не выходя из трёхмерного пространства.
В одномерном «пространстве» - на линии - выделим отрезок АВ длиной L. На двумерной плоскости на расстоянии L от АВ нарисуем параллельный ему отрезок DC и соединим их концы. Получится квадрат CDBA. Повторив эту операцию с плоскостью, получим трёхмерный куб CDBAGHFE. А сдвинув куб в четвёртом измерении (перпендикулярно первым трём) на расстояние L, мы получим гиперкуб CDBAGHFEKLJIOPNM.

Аналогичным образом можно продолжить рассуждения для гиперкубов большего числа измерений, но гораздо интереснее посмотреть, как для нас, жителей трёхмерного пространства, будет выглядеть четырёхмерный гиперкуб.

Возьмём проволочный куб ABCDHEFG и поглядим на него одним глазом со стороны грани. Мы увидим и можем нарисовать на плоскости два квадрата (ближнюю и дальнюю его грани), соединённые четырьмя линиями - боковыми рёбрами. Аналогичным образом четырёхмерный гиперкуб в пространстве трёх измерений будет выглядеть как два кубических «ящика», вставленных друг в друга и соединённых восемью рёбрами. При этом сами «ящики» - трёхмерные грани - будут проецироваться на «наше» пространство, а линии, их соединяющие, протянутся в направлении четвёртой оси. Можно попытаться также представить себе куб не в проекции, а в пространственном изображении.

Подобно тому, как трёхмерный куб образуется квадратом, сдвинутым на длину грани, куб, сдвинутый в четвёртое измерение, сформирует гиперкуб. Его ограничивают восемь кубов, которые в перспективе будут выглядеть как некая довольно сложная фигура. Сам же четырёхмерный гиперкуб можно разбить на бесконечное количество кубов, подобно тому, как трёхмерный куб можно «нарезать» на бесконечное количество плоских квадратов.

Разрезав шесть граней трёхмерного куба, можно разложить его в плоскую фигуру - развёртку. Она будет иметь по квадрату с каждой стороны исходной грани плюс ещё один - грань, ей противоположную. А трёхмерная развёртка четырёхмерного гиперкуба будет состоять из исходного куба, шести кубов, «вырастающих» из него, плюс ещё одного - конечной «гиперграни».

Гиперкуб в искусстве

Тессеракт настолько интересная фигура, что неоднократно привлекал внимание писателей и кинематографистов.
Роберт Э. Хайнлайн несколько раз упоминал гиперкубы. В «Доме, который построил Тил», (1940) он описал дом, построенный как развёртка тессеракта, а затем вследствие землетрясения «сложившийся» в четвёртом измерении и ставший «реальным» тессерактом. В романе «Дорога славы» Хайнлайна описана гиперразмерная шкатулка, которая была изнутри больше, чем снаружи.

Рассказ Генри Каттнера «Все тенали бороговы» описывает развивающую игрушку для детей из далёкого будущего, по строению похожую на тессеракт.

Сюжет фильма «Куб 2: Гиперкуб» сосредотачивается на восьми незнакомцах, пойманных в ловушку в «гиперкубе», или сети связанных кубов.

Параллельный мир

Математические абстракции вызвали к жизни представление о существовании параллельных миров. Под таковыми понимаются реальности, которые существуют одновременно с нашей, но независимо от неё. Параллельный мир может иметь различные размеры: от небольшой географической области до целой вселенной. В параллельном мире события происходят по-своему, он может отличаться от нашего мира, как в отдельных деталях, так и практически во всём. При этом физические законы параллельного мира не обязательно аналогичны законам нашей Вселенной.

Эта тема - благодатная почва для писателей-фантастов.

На картине Сальвадора Дали «Распятие на кресте» изображен тессеракт. «Распятие или Гиперкубическое тело», - картина испанского художника Сальвадора Дали, написанная в 1954 году. Изображает распятого Иисуса Христа на развертке тессеракта. Картина хранится в Музее Метрополитен в Нью-Йорке

Всё началось в 1895 году, когда Герберт Уэллс рассказом «Дверь в стене» открыл для фантастики существование параллельных миров. В 1923 году Уэллс вернулся к идее параллельных миров и поместил в один из них утопическую страну, куда отправляются персонажи романа «Люди как боги».

Роман не остался незамеченным. В 1926 году появился рассказ Г. Дента «Император страны „Если"». В рассказе Дента впервые возникла идея о том, что могут существовать страны (миры), история которых могла пойти не так, как история реальных стран в нашем мире. И миры эти не менее реальны, чем наш.

В 1944 году Хорхе Луис Борхес опубликовал в своей книге «Вымышленные истории» рассказ «Сад расходящихся тропок». Здесь идея ветвления времени была, наконец, выражена с предельной ясностью.
Несмотря на появление перечисленных выше произведений, идея многомирия начала серьёзно развиваться в научной фантастике лишь в конце сороковых годов XX века, примерно тогда же, когда аналогичная идея возникла в физике.

Одним из пионеров нового направления в фантастике был Джон Биксби, предположивший в рассказе «Улица одностороннего движения» (1954), что между мирами можно двигаться лишь в одну сторону - отправившись из своего мира в параллельный, вы уже не вернетесь назад, но так и будете переходить из одного мира в следующий. Впрочем, возвращение в свой мир также не исключается - для этого необходимо, чтобы система миров была замкнута.

В романе Клиффорда Саймака «Кольцо вокруг Солнца» (1982) описаны многочисленные планеты Земля, существующие каждая в своём мире, но на одной и той же орбите, и отличаются эти миры и эти планеты друг от друга лишь незначительным (на микросекунду) сдвигом во времени. Многочисленные Земли, которые посещает герой романа, образуют единую систему миров.

Любопытный взгляд на ветвление миров высказал Альфред Бестер в рассказе «Человек, который убил Магомета» (1958). «Меняя прошлое, - утверждал герой рассказа, - меняешь его только для себя». Иными словами, после изменения прошлого возникает ответвление истории, в котором лишь для персонажа, совершившего изменение, это изменение и существует.

В повести братьев Стругацких «Понедельник начинается в субботу» (1962) описаны путешествия персонажей в разные варианты описываемого фантастами будущего - в отличие от уже существовавших в фантастике путешествий в различные варианты прошлого.

Впрочем, даже простое перечисление всех произведений, в которых затрагивается тема параллельности миров, заняло бы слишком много времени. И хотя фантасты, как правило, научно не обосновывают постулат о многомерности, в одном они правы - это гипотеза, которая имеет право на существование.
Четвертое измерение тессеракта все еще ждет нас в гости.

Виктор Савинов

Если вы поклонник фильмов про Мстителей, первое, что может прийти вам на ум, когда вы услышите слово «Tesseract», это прозрачный кубообразный сосуд Камня бесконечности, содержащий безграничную силу.

Для поклонников Вселенной Marvel Тессеракт — это светящийся синий куб, от которого люди с не только Земли, но и других планет тоже сходят с ума. Вот почему все Мстители объединились, чтобы защитить Землян от чрезвычайно разрушительных сил Тессеракта.

Однако нужно сказать следующее: Тессеракт — это фактическое геометрическое понятие, а точнее, форма, существующая в 4D. Это не просто синий куб от Мстителей … это реальная концепция.

Тессеракт — это объект в 4 измерениях. Но прежде чем мы подробно объясним его, давайте начнем с самого начала.

Что такое «измерение»?

Каждый человек слышал термины 2D и 3D, представляя соответственно двумерные или трехмерные объекты пространства. Но что представляют собой эти измерения?

Измерение — это просто направление, в котором вы можете пойти. Например, если вы рисуете линию на листе бумаги, вы можете идти либо влево / вправо (по оси x), либо в направлении вверх / вниз (ось y). Таким образом, мы говорим, что бумага двумерна, так как вы можете идти только в двух направлениях.

В 3D есть ощущение глубины.

Теперь, в реальном мире, помимо упомянутых выше двух направлений (слева / справа и вверх / вниз), вы также можете пойти «в / из». Следовательно, в 3D-пространстве добавляется ощущение глубины. Поэтому мы говорим, что реальная жизнь 3-мерная.

Точка может представлять 0 измерений (поскольку она не перемещается в любом направлении), линия представляет 1 измерение (длина), квадрат представляет 2 измерения (длина и ширина), а куб представляет 3 измерения (длина, ширина и высота).

Возьмите 3D-куб и замените каждую его грань (которая в настоящее время является квадратом) кубом. И вот! Форма, которую вы получаете, — это и есть тессеракт.

Что такое тессеракт?

Проще говоря, тессеракт — это куб в 4-мерном пространстве. Вы также можете сказать, что это 4D-аналог куба. Это 4D-форма, где каждая грань является кубом.

3D-проекция тессеракта, выполняющая двойное вращение вокруг двух ортогональных плоскостей.
Изображение: Jason Hise

Вот простой способ концептуализации размеров: квадрат — двумерный; поэтому каждый из его углов имеет 2 линии, отходящих от него под углом 90 градусов друг к другу. Куб — 3D, поэтому каждый из его углов имеет 3 линии, сходящие с него. Аналогичным образом, тессеракт представляет собой 4D-форму, поэтому каждый угол имеет 4 линии, отходящих от него.

Почему трудно представить себе тессеракт?

Поскольку мы, как люди, эволюционировали, чтобы визуализировать объекты в трех измерениях, все, что входит в дополнительные измерения, такие как 4D, 5D, 6D и т. д., не имеет для нас большого смысла, потому что мы вообще не можем их представить. Наш мозг не может понять 4-го измерения в пространстве. Мы просто не можем об этом думать.

Однако только потому, что мы не можем визуализировать концепцию многомерных пространств, это не значит, что она не может существовать.

Гиперкуб и Платоновы тела

Смоделировать в системе «Вектор» усеченныйикосаэдр («футбольный мяч»)
у которого каждый пятиугольник ограниченшестиугольниками

Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12 вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12×5=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32 ), а число рёбер возрастает до 30+12×5=90 .

Шаги построения усеченного икосаэдра в системе «Вектор»

Фигуры в 4-мерном пространстве.

--à

--à ?

Например, даны куб и гиперкуб. В гиперкубе 24 грани. Значит, у 4-мерного октаэдра будет 24 вершины. Хотя нет, у гиперкуба – 8 граней кубов – в каждом центр -вершина. Значит, у 4-мерного октаэдрабудет 8 вершини того легче.

4-мерный октаэдр . Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой тэтраэдров,
соединенных по четыре у каждой вершины.

Рис. Попытка смоделировать
гипершар-гиперсферу в системе «Вектор»

Передняя – задняя грани – шары без искажения. Еще шестьшаров – можно задать черезэллипсоиды или квадратичные поверхности (через 4 линии контура как образующие) иличерез грани (сначала задаются через образующие).

Еще приемы «построить» гиперсферу
- тот же «футбольный мяч» в 4-мерном пространстве

Приложение 2

Для выпуклых многогранников имеет место свойство, связывающее число его вершин, ребер и граней, доказанное в 1752 году Леонардом Эйлером, и получившее название теоремы Эйлера.

Прежде чем его сформулировать рассмотрим известные нам многогранники и заполним следующую таблицу, в которой В - число вершин, Р - ребер и Г - граней данного многогранника:

Название многогранника
Треугольная пирамида
Четырехугольная пирамида
Треугольная призма
Четырехугольная призма
n - угольная пирамида	n +1	2n	n +1
n - угольная призма	2n	3n	n+2
n - угольная усеченная пирамида	2n	3n	n+2

Из этой таблицы непосредственно видно, что для всех выбранных многогранников имеет место равенство В - Р + Г = 2. Оказывается, что это равенство справедливо не только для этих многогранников, но и для произвольного выпуклого многогранника.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство

В - Р + Г = 2,

где В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней данного многогранника.

Доказательство. Для доказательства этого равенства представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим многоугольник (образованный ребрами удаленной грани многогранника), разбитый на более мелкие многоугольники (образованные остальными гранями многогранника).

Заметим, что многоугольники можно деформировать, увеличивать, уменьшать или даже искривлять их стороны, лишь бы при этом не происходило разрывов сторон. Число вершин, ребер и граней при этом не изменится.

Докажем, что для полученного разбиения многоугольника на более мелкие многоугольники имеет место равенство

(*)В - Р + Г " = 1,

где В – общее число вершин, Р – общее число ребер и Г " – число многоугольников, входящих в разбиение. Ясно, что Г "= Г – 1, где Г – число граней данного многогранника.

Докажем, что равенство (*) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике данного разбиения провести диагональ (рис. 5, а). Действительно,после проведения такой диагонали в новом разбиении будет В вершин, Р+1 ребер и количество многоугольников увеличится на единицу. Следовательно, имеем

В - (Р + 1) + (Г "+1) = В – Р + Г ".

Пользуясь этим свойством, проведем диагонали, разбивающие входящие многоугольники на треугольники, и для полученного разбиения покажем выполнимость равенства (*) (рис. 5, б). Для этого будем последовательно убирать внешние ребра, уменьшая количество треугольников. При этом возможны два случая:

а) для удаления треугольника ABC требуется снять два ребра, в нашем случае AB и BC ;

б) для удаления треугольника MKN требуется снять одно ребро, в нашем случае MN .

В обоих случаях равенство (*) не изменится. Например, в первом случае послеудаления треугольника граф будет состоять из В – 1 вершин, Р – 2 ребер и Г " – 1 многоугольника:

(В - 1) - (Р + 2) + (Г " – 1) = В – Р + Г ".

Самостоятельно рассмотрите второй случай.

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет равенство (*). Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов, мы придем к разбиению, состоящему из одного треугольника. Для такого разбиения В = 3, Р = 3, Г " = 1 и, следовательно, B – Р + Г " = 1. Значит, равенство (*) имеет место и для исходного разбиения, откуда окончательно получаем, что для данного разбиения многоугольника справедливо равенство (*). Таким образом, для исходного выпуклого многогранника справедливо равенство В - Р + Г = 2.

Пример многогранника, для которого не выполняется соотношение Эйлера, показан на рисунке 6. Этот многогранник имеет 16 вершин, 32 ребра и 16 граней. Таким образом, для этого многогранника выполняется равенство В – Р + Г = 0.

Приложение 3.

Фильм Куб 2: Гиперкуб» (англ. Cube 2: Hypercube) - фантастический фильм, продолжение фильма «Куб».

Восемь незнакомых людей просыпаются в комнатах, имеющих форму куба. Комнаты находятся внутри четырёхмерного гиперкуба. Комнаты постоянно перемещаются путём "квантовой телепортации", и если перелезть в соседнюю комнату, то вернуться в прежнюю уже маловероятно. В гиперкубе пересекаются параллельные миры, время в некоторых комнатах течёт по-разному, и некоторые комнаты являются смертельными ловушками.

Сюжетно картина во многом повторяет историю первой части, что также отражается и на образах некоторых персонажей. В комнатах гиперкуба погибает нобелевский лауреат Розенцвейг, рассчитавший точное время уничтожения гиперкуба .

Критика

Если в первой части люди заточенные в лабиринт пытались помочь друг-другу, в этом фильме каждый сам за себя. Очень много лишних спецэффектов (они же ловушки) которые ни как не связывают логически данную часть фильма с предыдущей. То есть получается фильм Куб 2 - это этакий лабиринт будущего 2020-2030 годов, но никак не 2000. В первой части все виды ловушек может теоретически создать человек. Во второй части эти ловушки - программа какого-то компьютера, так называемая "Виртуальная реальность".

Бакаляр Мария

Изучаются способы введения понятия четырёхмерного куба (тессеракта), его строение и некоторые свойства Решается вопрос о том, какие трёхмерные объекты получаются при пересечении четырёхмерного куба гиперплоскостями, параллельными его трёхмерным граням, а также гиперплоскостями, перпендикулярными его главной диагонали. Рассмотрен применяемый для исследования аппарат многомерной аналитической геометрии.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Введение……………………………………………………………………….2

Основная часть………………………………………………………………..4

Выводы………….. …………………………………………………………..12

Список литературы…………………………………………………………..13

Введение

Четырёхмерное пространство издавна привлекало внимание, как профессиональных математиков, так и людей, далёких от занятий этой наукой. Интерес к четвёртому измерению может быть обусловлен предположением о том, что наш трёхмерный мир «погружен» в четырёхмерное пространство подобно тому, как плоскость «погружена» в трёхмерное пространство, прямая «погружена» в плоскость, а точка – в прямую. Помимо этого, четырёхмерное пространство играет важную роль в современной теории относительности (так называемое пространство-время или пространство Минковского), а также может рассматриваться как частный случай мерного евклидова пространства (при ).

Четырёхмерный куб (тессеракт) является объектом четырёхмерного пространства, имеющим максимально возможную размерность (подобно тому, как обычный куб является объектом трёхмерного пространства). Заметим, что он представляет и непосредственный интерес, а именно может фигурировать в оптимизационных задачах линейного программирования (как область, в которой отыскивается минимум или максимум линейной функции четырёх переменных), а также применяется в цифровой микроэлектронике (при программировании работы дисплея электронных часов). Кроме этого, сам процесс изучения четырёхмерного куба способствует развитию пространственного мышления и воображения.

Следовательно, изучение строения и специфических свойств четырёхмерного куба является достаточно актуальным. Стоит отметить, что в плане строения четырёхмерный куб изучен достаточно хорошо. Гораздо больший интерес представляет характер его сечений различными гиперплоскостями. Таким образом, основной целью данной работы является изучение строения тессеракта, а также выяснение вопроса о том, какие трёхмерные объекты будут получаться, если четырёхмерный куб рассекать гиперплоскостями, параллельными какой-то одной из его трёхмерных граней, или же гиперплоскостями, перпендикулярными его главной диагонали. Гиперплоскостью в четырёхмерном пространстве будем называть трёхмерное подпространство. Можно сказать, что прямая на плоскости – одномерная гиперплоскость, плоскость в трёхмерном пространстве – двумерная гиперплоскость.

Поставленная цель определила задачи исследования:

1) Изучить основные факты многомерной аналитической геометрии;

2) Изучить особенности построения кубов размерностей от 0 до 3;

3) Изучить строение четырёхмерного куба;

4) Аналитически и геометрически описать четырёхмерный куб;

5) Изготовить модели развёрток и центральных проекций трёхмерного и четырёхмерного кубов.

6) Пользуясь аппаратом многомерной аналитической геометрии, описать трёхмерные объекты, получающиеся при пересечении четырёхмерного куба гиперплоскостями, параллельными какой-то одной из его трёхмерных граней, или же гиперплоскостями, перпендикулярными его главной диагонали.

Полученная таким образом информация позволит лучше разобраться в строении тессеракта, а также выявить глубокую аналогию в строении и свойствах кубов различных размерностей.

Основная часть

Сначала опишем математический аппарат, которым мы будем пользоваться в ходе данного исследования.

1) Координаты вектора: если , то

2) Уравнение гиперплоскости с нормальным вектором имеет вид Здесь

3) Плоскости и параллельны тогда и только тогда, когда

4) Расстояние между двумя точками определяется следующим образом: если , то

5) Условие ортогональности векторов:

Прежде всего, выясним, каким образом можно описать четырёхмерный куб. Сделать это можно двумя способами – геометрическим и аналитическим.

Если говорить о геометрическом способе задания, то здесь целесообразно проследить процесс построения кубов, начиная с нулевой размерности. Куб нулевой размерности – это точка (заметим, кстати, что точка может также играть роль шара нулевой размерности). Далее введём первое измерение (ось абсцисс) и на соответствующей оси отметим две точки (два нульмерных куба), находящиеся на расстоянии 1 друг от друга. Получится отрезок - одномерный куб. Сразу же отметим характерную особенность: Границей (концами) одномерного куба (отрезка) являются два нульмерных куба (две точки). Далее введём второе измерение (ось ординат) и на плоскости построим два одномерных куба (два отрезка), концы которых находятся на расстоянии 1 друг от друга (фактически, один из отрезков является ортогональной проекцией другого). Соединяя соответствующие концы отрезков, получим квадрат – двумерный куб. Опять-таки отметим, что границей двумерного куба (квадрата) являются четыре одномерных куба (четыре отрезка). Наконец, введём третье измерение (ось аппликат) и построим в пространстве два квадрата таким образом, чтобы один из них являлся ортогональной проекцией другого (при этом соответствующие вершины квадратов находятся друг от друга на расстоянии 1). Соединим соответствующие вершины отрезками – получим трёхмерный куб. Видим, что границей трёхмерного куба являются шесть двумерных кубов (шесть квадратов). Описанные построения позволяют выявить следующую закономерность: на каждом шаге мерный куб «движется, оставляя след» в е измерение на расстояние 1, при этом, направление движения перпендикулярно кубу. Именно формальное продолжение этого процесса и позволяет прийти к понятию четырёхмерного куба. А именно, заставим трёхмерный куб продвинуться в направлении четвёртого измерения (перпендикулярно кубу) на расстояние 1. Действуя аналогично предыдущему, то есть, соединяя соответствующие вершины кубов, мы и получим четырёхмерный куб. необходимо отметить, что геометрически такое построение в нашем пространстве невозможно (ибо оно трёхмерно), однако здесь мы не сталкиваемся ни с какими противоречиями с логической точки зрения. Теперь перейдём к аналитическому описанию четырёхмерного куба. Оно также получается формально, с помощью аналогии. Итак, аналитическое задание нульмерного единичного куба имеет вид:

Аналитическое задание одномерного единичного куба имеет вид:

Аналитическое задание двумерного единичного куба имеет вид:

Аналитическое задание трёхмерного единичного куба имеет вид:

Теперь уже очень легко дать аналитическое представление четырёхмерного куба, а именно:

Как видим, и при геометрическом, и при аналитическом способах задания четырёхмерного куба использовался метод аналогий.

Теперь, используя аппарат аналитической геометрии, выясним, какое имеет строение четырёхмерный куб. Сначала выясним, какие элементы в него входят. Здесь опять можно воспользоваться аналогией (для выдвижения гипотезы). Границей одномерного куба являются точки (нульмерные кубы), двумерного куба – отрезки (одномерные кубы), трёхмерного куба – квадраты (двумерные грани). Можно предположить, что границей тессеракта являются трёхмерные кубы. Для того чтобы это доказать, уточним, что понимается под вершинами, рёбрами и гранями. Вершинами куба назовём его угловые точки. То есть, координатами вершин могут являться нули или единицы. Таким образом, обнаруживается связь между размерностью куба и числом его вершин. Применим комбинаторное правило произведения – так как вершина мерного куба имеет ровно координат, каждая из которых равна нулю или единице (независимо от всех остальных), то всего имеется вершин. Таким образом, у любой вершины все координаты фиксированы и могут равняться или . Если же зафиксировать все координаты (положив каждую из них равной или , независимо от остальных), кроме одной, то получим прямые, содержащие рёбра куба. Аналогично предыдущему, можно сосчитать, что их ровно штук. А если теперь зафиксировать все координаты (положив каждую из них равной или , независимо от остальных), кроме каких-нибудь двух, получим плоскости, содержащие двумерные грани куба. Используя правило комбинаторики, найдём, что их ровно штук. Далее аналогично – зафиксировав все координаты (положив каждую из них равной или , независимо от остальных), кроме каких-нибудь трёх, получим гиперплоскости, содержащие трёхмерные грани куба. Пользуясь тем же правилом, вычислим их количество – ровно и т.д. Для нашего исследования этого будет достаточно. Применим полученные результаты к строению четырёхмерного куба, а именно, во всех выведенных формулах положим . Стало быть, четырёхмерный куб имеет: 16 вершин, 32 ребра, 24 двумерные грани, и 8 трёхмерных граней. Для наглядности зададим аналитически все его элементы.

Вершины четырёхмерного куба:

Рёбра четырёхмерного куба ():

Двумерные грани четырёхмерного куба (аналогичные ограничения):

Трёхмерные грани четырёхмерного куба (аналогичные ограничения):

Теперь, когда строение четырёхмерного куба и способы его задания описаны с достаточной полнотой, приступим к реализации главной цели – выяснению характера различных сечений куба. Начнём с элементарного случая, когда сечения куба параллельны одной из его трёхмерных граней. Например, рассмотрим его сечения гиперплоскостями, параллельными грани Из аналитической геометрии известно, что любое такое сечение будет задаваться уравнением Зададим соответствующие сечения аналитически:

Как видим, получено аналитическое задание трёхмерного единичного куба, лежащего в гиперплоскости

Для установления аналогии запишем сечение трёхмерного куба плоскостью Получим:

Это квадрат, лежащий в плоскости . Аналогия очевидна.

Сечения четырёхмерного куба гиперплоскостями дают совершенно аналогичные результаты. Это будут также единичные трёхмерные кубы, лежащие в гиперплоскостях соответственно.

Сейчас рассмотрим сечения четырёхмерного куба гиперплоскостями, перпендикулярными его главной диагонали. Сначала решим эту задачу для трёхмерного куба. Используя вышеописанный способ задания единичного трёхмерного куба, заключает, что в качестве главной диагонали можно взять, например, отрезок с концами и . Значит, вектор главной диагонали будет иметь координаты . Следовательно, уравнение любой плоскости, перпендикулярной главной диагонали, будет иметь вид:

Определим границы изменения параметра . Так как , то, почленно складывая эти неравенства, получим:

Или .

Если , то (в силу ограничений). Аналогично - если , то . Значит, при и при секущая плоскость и куб имеют ровно одну общую точку ( и соответственно). Теперь заметим следующее. Если (опять-таки в силу ограничений переменных). Соответствующие плоскости пересекают сразу три грани, ибо, в противном случае, секущая плоскость была бы параллельна одной из них, что не имеет места по условию. Если , то плоскость пересекает все грани куба. Если же , то плоскость пересекает грани . Приведём соответствующие выкладки.

Пусть Тогда плоскость пересекает грань по прямой , причём . Грань , причём . Грань плоскость пересекает по прямой , причём

Пусть Тогда плоскость пересекает грань:

грань по прямой , причём .

На этот раз получается шесть отрезков, имеющих последовательно общие концы:

Пусть Тогда плоскость пересекает грань по прямой , причём . Грань плоскость пересекает по прямой , причём . Грань плоскость пересекает по прямой , причём . То есть, получаются три отрезка, имеющих попарно общие концы: Таким образом, при указанных значениях параметра плоскость будет пересекать куб по правильному треугольнику с вершинами

Итак, здесь приведено исчерпывающее описание плоских фигур, получающихся при пересечении куба плоскостью, перпендикулярной его главной диагонали. Основная идея состояла в следующем. Необходимо понять, какие грани пересекает плоскость, по каким множествам она их пересекает, как эти множества связаны между собой. Например, если выяснялось, что плоскость пересекает ровно три грани по отрезкам, которые имеют попарно общие концы, то сечением являлся равносторонний треугольник (что доказывается непосредственным подсчётом длин отрезков), вершинами которого и служат эти концы отрезков.

Пользуясь этим же аппаратом и той же идеей исследования сечений, совершенно аналогично можно вывести следующие факты:

1) Вектор одной из главных диагоналей четырёхмерного единичного куба имеет координаты

2) Любая гиперплоскость, перпендикулярная главной диагонали четырёхмерного куба, может быть записана в виде .

3) В уравнении секущей гиперплоскости параметр может изменяться от 0 до 4;

4) При и секущая гиперплоскость и четырёхмерный куб имеют одну общую точку (и соответственно);

5) При в сечении будет получаться правильный тетраэдр;

6) При в сечении будет получаться октаэдр;

7) При в сечении будет получаться правильный тетраэдр.

Соответственно, здесь гиперплоскость пересекает тессеракт по плоскости, на которой в силу ограничений переменных выделяется треугольная область (аналогия – плоскость пересекала куб по прямой, на которой в силу ограничений переменных выделялся отрезок). В случае 5) гиперплоскость пересекает ровно четыре трёхмерные грани тессеракта, то есть, получаются четыре треугольника, имеющих попарно общие стороны, иначе говоря, образующие тетраэдр (как это можно подсчитать - правильный). В случае 6) гиперплоскость пересекает ровно восемь трёхмерных граней тессеракта, то есть, получаются восемь треугольников, имеющих последовательно общие стороны, иначе говоря, образующие октаэдр. Случай 7) полностью аналогичен случаю 5).

Проиллюстрируем сказанное конкретным примером. А именно, исследуем сечение четырёхмерного куба гиперплоскостью В силу ограничений переменных, данная гиперплоскость пересекает следующие трёхмерные грани: Грань пересекается по плоскости В силу ограничений переменных имеем: Получим треугольную область с вершинами Далее, получим треугольник При пересечении гиперплоскости с гранью получим треугольник При пересечении гиперплоскости с гранью получим треугольник Таким образом, вершины тетраэдра имеют следующие координаты . Как легко подсчитать, этот тетраэдр действительно является правильным.

Выводы

Итак, в процессе данного исследования были изучены основные факты многомерной аналитической геометрии, изучены особенности построения кубов размерностей от 0 до 3, изучено строение четырёхмерного куба, аналитически и геометрически описан четырёхмерный куб, изготовлены модели развёрток и центральных проекций трёхмерного и четырёхмерного кубов, аналитически описаны трёхмерные объекты, получающиеся при пересечении четырёхмерного куба гиперплоскостями, параллельными какой-то одной из его трёхмерных граней, или же гиперплоскостями, перпендикулярными его главной диагонали.

Проведённое исследование позволило выявить глубокую аналогию в строении и свойствах кубов различных размерностей. Использованную методику проведения аналогии можно применить при исследовании, например, мерной сферы или мерного симплекса. А именно, мерную сферу можно определить как множество точек мерного пространства, равноудалённых от заданной точки, которая называется центром сферы. Далее, мерный симплекс можно определить как часть мерного пространства, ограниченную минимальным числом мерных гиперплоскостей. Например, одномерный симплекс – отрезок (часть одномерного пространства, ограниченная двумя точками), двумерный симплекс – треугольник (часть двумерного пространства, ограниченная тремя прямыми), трёхмерный симплекс – тетраэдр (часть трёхмерного пространства, ограниченная четырьмя плоскостями). Наконец, мерный симплекс определим как часть мерного пространства, ограниченную гиперплоскостью размерности .

Отметим, что, несмотря на многочисленные применения тессеракта в некоторых областях науки, данное исследование всё же является в значительной степени математическим изысканием.

Список литературы

1) Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика, т.1 –М.: Дрофа, 2005 – 284 с.

2) Квант. Четырёхмерный куб / Дужин С., Рубцов В., №6, 1986.

3) Квант. Как начертить мерный куб / Демидович Н.Б., №8, 1974.

Учения о многомерных пространствах начали появляться в середине XIX века в работах Г. Грассмана, А. Кэли, Б. Римана, В. Клиффорда, Л. Шлефли и других математиков. В начале XX века с появлением теории относительности А. Эйнштейна и идей Г. Минковского в физике стали использовать четырехмерную пространственно-временную систему координат.

Потом идею четырехмерного пространства у ученых позаимствовали фантасты. В своих произведениях они поведали миру об удивительных чудесах четвертого измерения. Герои их произведений, используя свойства четырехмерного пространства, могли съесть содержимое яйца, не повредив скорлупы, выпить напиток, не вскрывая пробку бутылки. Похитители извлекали сокровища из сейфа через четвертое измерение. Звенья цепи легко можно рассоединить, а узел на веревке развязать, не прикасаясь к ее концам. Хирурги выполняли операции над внутренними органами, не разрезая ткани тела пациента. Мистики поместили души усопших в четвертое измерение. Для обычного человека идея четырехмерного пространства осталась непонятной и таинственной, а многие вообще считают четырехмерное пространство плодом воображения ученых и фантастов, не имеющего никакого отношения к реальности.

Проблема восприятия

Традиционно считается, что воспринимать и представлять четырехмерные фигуры человек не может, так как он трехмерное существо. Субъект воспринимает трехмерные фигуры с помощью сетчатки глаза, которая двумерна. Для восприятия четырехмерных фигур необходима трехмерная сетчатка, но у человека такой возможности нет.

Чтобы составить наглядное представление о четырехмерных фигурах, будем использовать аналогии из пространств низшей размерности для экстраполяции на фигуры высшей размерности, пользоваться методом моделирования, применять методы системного анализа для поиска закономерностей между элементами четырехмерных фигур. Предложенные модели должны адекватно описывать свойства четырехмерных фигур, не противоречить друг другу и давать достаточное представление о четырехмерной фигуре и, в первую очередь, о ее геометрической форме. Так как в литературе нет систематического и наглядного описания четырехмерных фигур, а имеются только их названия с указанием некоторых свойств, мы предлагаем начать изучение четырехмерных фигур с самой простой – четырехмерного куба, который называется гиперкубом.

Определение гиперкуба

Гиперкубом называется правильный политоп, ячейкой которого является куб.

Политоп – это четырехмерная фигура, граница которой состоит из многогранников. Аналогом ячейки политопа является грань многогранника. Гиперкуб является аналогом трехмерного куба.

Мы будем иметь представление о гиперкубе, если познаем его свойства. Субъект воспринимает некоторый объект, представляя его в виде некоторой модели. Воспользуемся данным методом, и представление о гиперкубе изложим в виде различных моделей.

Аналитическая модель

Будем рассматривать одномерное пространство (прямую линию) как упорядоченное множество точек M (x ), где x – координата произвольной точки прямой. Тогда единичный отрезок задается указанием двух точек: A (0) и B (1).

Плоскость (двумерное пространство) можно рассматривать как упорядоченное множество точек M (x ; y ). Единичный квадрат будет полностью определен его четырьмя вершинами: A (0; 0), B (1; 0), C (1; 1), D (0; 1). Координаты вершин квадрата получены добавлением к координатам отрезка нуля, а потом единицы.

Трехмерное пространство – упорядоченное множество точек M (x ; y ; z ). Для задания трехмерного куба необходимо восемь точек:

A (0; 0; 0), B (1; 0; 0), C (1; 1; 0), D (0; 1; 0),

E (0; 0; 1), F (1; 0; 1), G (1; 1; 1), H (0; 1; 1).

Координаты куба получены из координат квадрата добавлением нуля, а потом единицы.

Четырехмерное пространство есть упорядоченное множество точек M (x ; y ; z ; t ). Для задания гиперкуба нужно определить координаты шестнадцати его вершин:

A (0; 0; 0; 0), B (1; 0; 0; 0), C (1; 1; 0; 0), D (0; 1; 0; 0),

E (0; 0; 1; 0), F (1; 0; 1; 0), G (1; 1; 1; 0), H (0; 1; 1; 0),

K (0; 0; 0; 1), L (1; 0; 0; 1), M (1; 1; 0; 1), N (0; 1; 0; 1),

O (0; 0; 1; 1), P (1; 0; 1; 1), R (1; 1; 1; 1), S (0; 1; 1; 1).

Координаты гиперкуба получены из координат трехмерного куба добавлением четвертой координаты, равной нулю, а потом единице.

Используя формулы аналитической геометрии для четырехмерного евклидового пространства, можно получить свойства гиперкуба.
В качестве примера рассмотрим вычисление длины главной диагонали гиперкуба. Пусть требуется найти расстояние между точками A (0, 0, 0, 0) и R (1, 1, 1, 1). Для этого воспользуемся формулой расстояния в четырехмерном евклидовом пространстве.

В двумерном пространстве (на плоскости) расстояние между точками A (x 1 , y 1) и B (x 2 , y 2) вычисляется по формуле

Эта формула следует из теоремы Пифагора.

Соответствующая формула расстояния между точками A (x 1 , y 1 , z 1) и B (x 2 , y 2 , z 2) в трехмерном пространстве имеет вид

И в одномерном пространстве (на прямой) между точками A(x 1) и B(x 2) можно записать соответствующую формулу расстояния:

Аналогично расстояние между точками A (x 1 , y 1 , z 1 , t 1) и B (x 2 , y 2 , z 2 , t 2) в четырехмерном пространстве будет вычисляться по формуле:

Для предложенного примера находим

Таким образом, аналитически гиперкуб существует, и его свойства можно описать не хуже, чем свойства трехмерного куба.

Динамическая модель

Аналитическая модель гиперкуба очень абстрактна, поэтому рассмотрим другую модель – динамическую.

Точка (нульмерная фигура), двигаясь в одном направлении, порождает отрезок (одномерную фигуру). Отрезок, двигаясь в направлении перпендикулярно самому себе, создает квадрат (двумерную фигуру). Квадрат, двигаясь в направлении перпендикулярно плоскости квадрата, создает куб (трехмерную фигуру).

Куб, двигаясь перпендикулярно трехмерному пространству, в котором он находился первоначально, порождает гиперкуб (четырехмерную фигуру).

Граница гиперкуба трехмерна, конечна и замкнута. Она состоит из трехмерного куба в начальном положении, трехмерного куба в конечном положении и шести кубов, образованных при движении квадратов исходного куба в направлении четвертого измерения. Вся граница гиперкуба состоит из 8 трехмерных кубов (ячеек).

При движении в первоначальном положении куб имел 8 вершин и в конечном положении также 8 вершин. Следовательно, гиперкуб имеет в общей сложности 16 вершин.

Из каждой вершины исходят по четыре взаимно перпендикулярных ребра. Всего ребер у гиперкуба – 32. В первоначальном положении у него было 12 ребер, в конечном положении также 12 ребер, и 8 ребер образовали вершины куба при движении в четвертом измерении.

Таким образом, граница гиперкуба состоит из 8 кубов, которые состоят из 24 квадратов. А именно, 6 квадратов в исходном положении, 6 – в конечном, и 12 квадратов, образованных при движении 12 ребер в направлении четвертого измерения.

Геометрическая модель

Динамическая модель гиперкуба может показаться недостаточно наглядной. Поэтому рассмотрим геометрическую модель гиперкуба. Как мы получаем геометрическую модель трехмерного куба? Мы делаем его развертку, а из развертки «склеиваем» модель куба. Развертка трехмерного куба состоит из квадрата, к сторонам которого приложено по квадрату плюс еще один квадрат. Примыкающие квадраты поворачиваем вокруг сторон квадрата, а соседние стороны квадратов соединяем друг с другом. А оставшиеся четыре стороны замыкаем последним квадратом (рис. 1).

Аналогично рассмотрим развертку гиперкуба. Его разверткой будет являться трехмерная фигура, состоящая из исходного трехмерного куба, шести кубов, примыкающих к каждой грани исходного куба и еще одного куба. Всего восемь трехмерных кубов (рис. 2). Чтобы из данной развертки получить четырехмерный куб (гиперкуб), нужно повернуть на 90 градусов каждый из прилегающих кубов. Эти прилегающие кубы будут расположены в другом трехмерном пространстве. Соседние грани (квадраты) кубов соединить друг с другом. Вложить восьмой куб гранями в оставшееся незаполненное пространство. Получим четырехмерную фигуру – гиперкуб, граница которого состоит из восьми трехмерных кубов.

Изображение гиперкуба

Выше было показано, как из трехмерной развертки «склеить» модель гиперкуба. Изображения мы получаем с помощью проекции. Центральная проекция трехмерного куба (его изображение на плоскости) выглядит следующим образом (рис. 3). Внутри квадрата находится другой квадрат. Соответствующие вершины квадрата соединены отрезками. Прилегающие квадраты изображены в виде трапеций, хотя в трехмерном пространстве это квадраты. Внутренний и внешний квадраты разных размеров, но в реальном трехмерном пространстве это равные квадраты.

Аналогично центральная проекция четырехмерного куба на трехмерное пространство будет выглядеть так: внутри одного куба находится другой куб. Соответствующие вершины кубов соединены отрезками. Внутренний и внешний кубы имеют разные размеры в трехмерном пространстве, но в четырехмерном пространстве это равные кубы (рис. 4).

Шесть усеченных пирамид – это изображения равных шести ячеек (кубов) четырехмерного куба.

Эту трехмерную проекцию можно нарисовать на плоскости и убедиться в истинности свойств гиперкуба, полученных с помощью динамической модели.

Гиперкуб имеет 16 вершин, 32 ребра, 24 грани (квадрата), 8 ячеек (кубов). Из каждой вершины исходят по четыре взаимно-перпендикулярных ребра. Границей гиперкуба является трехмерная замкнутая выпуклая фигура, объем которой (боковой объем гиперкуба) равняется восьми единичным трехмерных кубам. Внутри себя эта фигура содержит единичный гиперкуб, гиперобъем которого равняется гиперобъему единичного гиперкуба.

Заключение

В данной работе ставилась цель дать первоначальное знакомство с четырехмерным пространством. Сделано это было на примере самой простой фигуры – гиперкуба.

Мир четырехмерного пространства удивителен! В нем, наряду с похожими фигурами в трехмерном пространстве, существуют и фигуры, аналогов которых нет в трехмерном пространстве.

Многие явления материального мира, макромира и мегамира, несмотря на грандиозные успехи в физике, химии и астрономии, так и остались необъяснимыми.

Нет единой теории, объясняющей все силы природы. Нет удовлетворительной модели Вселенной, объясняющей ее строение и исключающей парадоксы.

Познав свойства четырехмерного пространства и позаимствовав некоторые идеи из четырехмерной геометрии, можно будет не только построить более строгие теории и модели материального мира, но и создать инструменты и системы, функционирующие по законам четырехмерного мира, тогда возможности человека окажутся еще более впечатляющими.